Digamos que te dan $n$ puntos tales que no haya tres colineales. Demuestra que el número de formas de separarlos en dos subconjuntos dibujando una línea recta depende de $n$ pero no la posición de los puntos.
Para estar realmente convencido necesito más detalles : una línea de separación no trivial separa el conjunto de puntos en dos conjuntos no vacíos, cada uno con un casco convexo $A$ y $B$ . la línea deja de oscilar después de llegar a un punto $\in A$ y otro $\in B$ . la experiencia demuestra que para una línea de separación dada, sólo hay dos (como máximo dos ? siempre dos ?) posiciones en las que puede dejar de oscilar. y porque no $3$ los puntos están alineados, por cada par de puntos, hay (¿siempre?) dos líneas de separación diferentes que pueden dejar de oscilar al chocar con esos dos puntos.
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Probablemente habría que buscar una correspondencia de uno a uno entre dos conjuntos arbitrarios de puntos sin tres colineales de forma que cada conjunto partido de uno de ellos por una recta se corresponda con un conjunto partido del otro por una recta. Uno podría preguntarse cuántas correspondencias existen para un determinado par de conjuntos de $n$ puntos y si ese número es el mismo para todos esos pares de conjuntos de $n$ puntos. $\qquad$
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@Michael Hardy : No estoy convencido de que sea cierto. toma 4 puntos. si es un triángulo con el 4º punto dentro, hay $6$ maneras de separarlas. Si es un cuadrado, hay $8$ formas de separarlos.
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@user1952009 : ¿Cuáles son las ocho formas de separar el cuadrado? Yo cuento siete si incluyes la no separación. O bien (1) pones los cuatro puntos en un lado de la línea, o (2) separas sólo un punto de los otros, y hay cuatro formas de hacerlo, o (3) separas dos puntos de los otros dos, y sólo hay dos formas de hacerlo. Eso hace siete. Con el triángulo con el cuarto punto en el interior, o (1) pones los cuatro puntos en un lado de la línea, o (2) separas un punto de los otros, y hay tres maneras de hacerlo, o (3) separas $\qquad$
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$\ldots$ dos de los otros dos, y hay tres maneras de hacerlo. Así que con cualquier configuración, hay siete. ${}\qquad{}$
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Sin embargo, la propuesta en mi comentario, para una forma de demostrar el resultado propuesto, es errónea, y tu ejemplo es un contraejemplo de ello. $\qquad$
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@Michael Hardy : tienes razón, lo siento. sin embargo, ese teorema si es cierto es realmente (realmente) contraintuitivo. Supongo que el argumento debería ser que desplazar un punto del casco convexo al interior (y a la inversa) no cambia el número de manera de separarlos ?
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El resultado es un teorema, que sé con seguridad. Ahora, con la combinatoria podemos ver que en el caso de 4 puntos, habrá 8 formas de dividirlos en 2 subconjuntos (incluyendo la separación vacía con todos los puntos en un lado). Para el caso del cuadrado una de ellas es imposible con una línea recta, es decir, dividiéndolo en diagonales. Para el caso del triángulo, también es imposible una de ellas, separando el punto medio de los vértices del triángulo. El teorema es válido en general.
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Hay $\binom n 2$ pares desordenados de puntos en el conjunto y por lo tanto $\binom n 2$ líneas entre ellos. Llamando a dos de los puntos $A$ y $B$ una pequeña perturbación de la línea entre ellos puede tener de cualquiera de cuatro posiciones: puede poner $A$ y $B$ al sur de la misma, o $A$ y $B$ al norte de la misma, o $A$ al sur de la misma y $B$ al norte de la misma, o $A$ al norte de la misma y $B$ al sur de la misma. Esto nos da cuatro particiones del conjunto de $n$ puntos. Cualquier tercer punto $C$ está en un lado de la línea que pasa por $A$ y $B$ . Trataría de demostrar que ${}\,\ldots\qquad$
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$\ldots\,{}$ moviendo $C$ al otro lado de la línea a través de $A$ y $B$ no cambia el número de formas de separar los conjuntos, aunque pueda resultar en un conjunto de particiones no isomorfo a lo que era antes $C$ cruzó esa línea. $\qquad$