Es posible expresar la longitud de un lado de un regular $n$-gon (de la unidad de circunradio) sin funciones trascendentes?

Question

La pregunta es exactamente lo que dice el título:

Es posible expresar la longitud de un lado de un regular $n$-gon (de la unidad de circunradio) sin el uso de funciones trascendentes (es decir: sin, cos, tan,...)?

EDIT: parece que la pregunta es equivalente a la resolución de cualquier trascendental función tal que x = 1/n, donde n es un número natural, en términos de que no funciones trascendentes.

Answer 1

@Francesco es un muerto timbre en su comentario. Ya que cada cyclotomic ecuación polinómica es soluble por radicales, el mismo es cierto de las funciones trigonométricas que entrar en las longitudes de los lados. Tan radical expresiones existen para el lado/cirumradius relación en todos los polígonos regulares.

Pero hay alguna letra pequeña. Si en cualquier punto en el proceso de resolución del cyclotomic ecuación que necesita para resolver un tercer o mayor grado de componente, los radicales tienen argumentos complejos y que no puede resolver el real cantidades usando álgebra solo. Es el famoso" casus irreducibilis en la solución de las ecuaciones cúbicas, y más. Sucede con cualquier irreductible de primer grado de la ecuación si el grado es de tres o más y múltiples raíces reales puede ser expresado con radicales. Así, en todos los casos se obtienen los radicales, pero en la mayoría no se puede resolver de forma algebraica.

Para obtener los radicales, que puede ser resuelto en términos de números reales el cyclotomic ecuación debe ser expresable únicamente en términos de la cuadrática componentes. Que requiere el grado para ser una potencia de dos. Recuerde que el grado de la cyclotomic la ecuación de Euler totient función del número de lados. Así que nos ponemos radicales resolverse en los números reales si y solo si el $n$-gon satisface $\phi (n)=$ una potencia de dos. Por lo tanto $n \in \{3,4,5,6,8,10,...\}$. Tenga en cuenta que este es el mismo conjunto como el conjunto de construibles de polígonos regulares.