Demuestra que $n^2(n^2+1)(n^2-1)$ es un múltiplo de $5$ para cualquier número entero $n$ .

Question

Demuestra que $n^2(n^2+1)(n^2-1)$ es un múltiplo de $5$ para cualquier número entero $n$ .

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Estaba pensando en usar la inducción, pero no estaba seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Pista: $$ n^2(n^2+1)(n^2−1) \cong n^2(n^2-4)(n^2−1) = (n-2)(n-1)(n^2)(n+1)(n+2) $$

Answer 2

Pista: Computación $n^2 \bmod 5$ para $n=0,1,2,3,4$ .

Answer 3

${ \rm mod}\ 5\!:\,\ \color {#c00}n^2( \color {#0a0}{n^4-1}) \equiv 0\, $ por $\, \color {#c00}{n \equiv 0}\,$ o $\, \color {#0a0}{n^4 \equiv 1}\,$ por el pequeño Fermat.

O, directamente $\, \color {#c00}{n \equiv 0}\ $ o $\ n \equiv \pm1 , \pm2\ , \Rightarrow\ , n^2 \equiv \pm1\ , \Rightarrow\ , \color {#0a0}{n^4 \equiv 1}$

Answer 4

$n^2(n^2+1)(n^2-1)=n^2(n^4-1)$ y $n^4 \equiv1\mod5 $ por FLT para $n \in\ {1,2,3,4\}$

O, como el FLT también afirma que $a^{p-1+k} \equiv a^k \mod p$ y como la ecuación es $n^6-n^2$ el hecho es inmediato.