Tengo una pregunta sobre la siguiente prueba:
Reclamo: Una secuencia en la $\mathbb{R}$ puede tener más de un límite.
Prueba: Supongamos que una secuencia $X = (x_n)$ tiene dos límites. Llamarlos $x$ y $x'$. Para cualquier $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que $|x_n - x| < \epsilon/2$$n \geq N$. También existe $N'$ tal que $|x_{n'}- x'| < \epsilon/2$$n' \geq N'$. Deje $M = $max$(N, N')$. A continuación, para $m \geq M$: $|x-x'| = |(x - x_m) + (x_m - x')| \leq |x_m - x| + |x_m - x'| < \epsilon/2 + \epsilon/2= \epsilon$.
Desde $\epsilon$ es arbitrario, llegamos a la conclusión de $x = x'$.
Mi pregunta: ¿es necesario dividir la $\epsilon$ a todos? Hacemos esto simplemente porque queremos un aspecto limpio la prueba? Aquí está la alternativa de la prueba que yo tenía en mente, que puede o puede no ser la correcta:
Asumir una secuencia $X = (x_n)$ tiene dos límites. Llamarlos $x$ y $x'$. Para cualquier $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que $|x_n - x| < \epsilon$$n \geq N$. Para $\epsilon_2 > 0$ existe $N'$ tal que $|x_{n'}- x'| < \epsilon_2$$n' \geq N'$. Deje $M = $max$(N, N')$. A continuación, para $m \geq M$: $|x-x'| = |(x - x_m) + (x_m - x')| \leq |x_m - x| + |x_m -x'| < \epsilon + \epsilon_2= \epsilon_3$.
$\epsilon_3$ es sólo otro número real positivo. Que puedo hacer $\epsilon_3$ tan pequeño como me gusta porque puedo hacer $\epsilon$ $\epsilon_2$ tan pequeño como me gusta. Así que me llegan a la misma conclusión.
Es el último poco de razonamiento válido? He tenido la impresión, de hablar con un profesor, que presento una dependencia en $\epsilon$$\epsilon_2$, por lo que debe ser capaz de llegar con algún método de obtención de $\epsilon$$\epsilon_2$. Estoy confundido.
(el ángulo de los soportes de la blockquote parecen estar arruinando el formato.)
