$\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n^{1/\log n}<1/e$ $a_n>0$ $\sum a_n$ converge

Question

Si $\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n^{1/\log n}<1/e$ $a_n>0$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge.

$$0<a_n < e^{-\log n}=\frac{1}{n}$$

También, $\exp\{\frac{1}{\log n}\log a_n \} \le \exp(-1)$$\displaystyle\frac{\log a_n}{\log n}\le -1$.

¿Cómo funciona el limsup ayudar aquí?

Answer 1

Usted está cerca. Vamos a la $\limsup$$\frac{1}{e^{1+\delta}}$. A continuación, para lo suficientemente grande como $n$ hemos $$\log a_n\lt -(1+\delta/2)\log n.$$ Eso significa que $a_n \lt \frac{1}{n^{1+\delta/2}}$. Ahora la Comparación que hace.