Límite de Secuencia Recursiva $y_{n+1}=y_n+\frac{1}{ny_n}$ $y_1=1$

Question

Se me ocurrió esta secuencia como yo estaba jugando con otra pregunta en este sitio. Y así que me decidí a preguntar a los usuarios si pueden encontrar una solución.

Deje $$y_1=1$$ $$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{ny_n}.$$

Evaluar $$\lim\limits_{n\to \infty} y_n \leq \infty.$$

Answer 1

La secuencia diverge.

Supongamos que la secuencia fue delimitada por una constante, es decir, $y_n < C$ todos los $n$. A continuación, en particular, $\frac{1}{y_n} > \frac{1}{C}$ todos los $n$ así:

$y_{2}>y_1 + \frac{1}{C}$

$y_{3} > y_2 + \frac{1}{2C} > y_1 + \frac{1}{C} + \frac{1}{2C}$

$y_{4} > y_3 + \frac{1}{3C} > y_1 + \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1} {3C}$

...

$y_{n+1} > y_1 + \frac{1}{C} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$

Pero la serie armónica diverge.

EDITAR:

Me gustaría ampliar un poco sobre la exacta asymptotics en respuesta a Hizo el comentario de:

Usando el mismo truco que el anterior, pero con las plazas:

$y_2^2 = y_1^2+\frac{2}{1}+\frac{1}{y_1^2}$

$y_3^2 = y_2^2+\frac{2}{2}+\frac{1}{4y_2^2} = y_1^2+(\frac{2}{1}+\frac{2}{2}) +(\frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{4y_2^2})$

... (es decir, por inducción)

$y_{n+1} = y_1^2 + 2(\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}) + (\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2y_i^2})$

$2H_n + 1 < y_{n+1}^2 < 2H_n + 1 + \frac{\pi^2}{6}$

Donde en el último paso usamos ese $y_n \ge 1$ todos los $n$ y la suma de los recíprocos de los cuadrados de las sumas a $\frac{\pi^2}{6}$. Así que, de hecho,$y_n \approx \sqrt{2H_n}$, como se sugiere.