Supongamos que la serie $$\sum n a_n$$ converge.
De lo anterior se sigue que la serie $$\sum a_n$$ convergen ?
En el caso de la serie fueron positivos, es trivial utilizando la prueba de comparación. ¿Qué podemos decir en el caso general ?
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Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Roger Hoover
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Permítanos reformular la pregunta: si sabemos que $\sum_{n\geq 1}b_n$ es convergente, ¿ también sabemos que $\sum_{n\geq 1}\frac{b_n}{n}$ es convergente? La respuesta es sí y la técnica de la prueba es de suma por partes. Pongámonos $B_n=b_1+b_2+\ldots+b_n$. Tenemos $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{b_n}{n} = \frac{B_N}{N}+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{B_n}{n(n+1)} $$ donde $B_N\to L$ implica que el$\frac{B_N}{N}\to 0$$N\to +\infty$. También implica que la serie $\sum_{n\geq 1}\frac{B_n}{n(n+1)}$ es absolutamente convergente por asintótica comparación con $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n(n+1)}=1$.
Leve generalización con la misma prueba: si $\sum_{n\geq 1}b_n$ es convergente y $\varepsilon>0$, $\sum_{n\geq 1}\frac{b_n}{n^{\varepsilon}}$ es convergente, también.
Esto también tiene una interesante especie de conversar, conocido como Kronecker del lema: si $\sum_{n\geq 1}\frac{b_n}{n}$ es convergente, entonces $\lim_{N\to +\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}b_n =0$.
