Hace de Día y de Noche en una botella Klein tiene un estado estable?

Question

Coloque un $m \times n$ ($m,n \ge 3$) cuadrado de la cuadrícula en una botella de Klein. En cada plaza, seleccionamos una arbitraria no-espejo simétrico marcador, y colocarlos en la botella de Klein de alguna manera. Esta disposición se denomina una "posición".

Ahora, introducimos la siguiente operación en las posiciones. Para cada plaza, hacemos lo siguiente:

• Si el símbolo en la plaza es la misma orientación como 3, 6, 7, 8 símbolos de su moore vecinos, no hacer nada a ese símbolo.
• De lo contrario, sustituir por su reflejo.

Esta definición tiene la ventaja de que el hecho de que, aunque la botella de Klein no es globalmente orientable, es localmente orientable (lo cual es cierto en cada espacio). Lo que hemos definido, básicamente, es de Día y de Noche en una botella de Klein, donde la vida es la simetría de espejo de la muerte.

Mi pregunta es esta: ¿hay una vida (es decir, una posición para la cual la operación no hace nada)?

Answer 1

Aquí está una posición de vida en el plano infinito: el marcador en $(x,y)$ está orientado de una manera si $x>0$, el otro si $x<0$. Si $x=0$, la orientación depende si $y$ es par o impar.

Cada marcador en el $y$eje $x=0$ tiene tres vecinos de su propia orientación. Cada marcador en $x = \pm 1$ ha $6$ o $7$ a los vecinos si su propia orientación, y todos los marcadores con $|x| \geq 2$ son completamente rodeada por los marcadores de su propia orientación. Por lo tanto la posición es estable.

Ahora rodar el avión en un Klein cilindro: elegir algunos de los grandes negativo $x_1$ grandes y positivos $x_2$, quitar todos los marcadores con $x$ fuera de $[x_1,x_2]$, e identificar a $(x_1,y)$$(x_2,-y)$. Esto le da una vida posición en un Klein cilindro de la circunferencia de la $x_2 - x_1$.

La posición es periódica en el $y$ dirección con período de $2$, así podemos conseguir una posición de vida en un $(x_2-x_1) \times n$ La botella de Klein para cualquiera incluso $n$.

Es probable que haya alguna variación de este que se encarga de extraño $n$.