La Riemann zeta función tiene dos tipos de ceros, ceros triviales (en los negativos números enteros, $-2$, $-4$, et c.) y la no-trivial de ceros. Hay infinitamente muchos no trivial de ceros y todos ellos se encuentran en la franja de tener partes reales entre el $0$ $1$ (en detalle, la tira de $\{x + \mathrm{i}y \in \mathbb{C} \mid 0<x<1\}$). (Que no hay ninguno en la línea $x = 1$ (o más a la derecha) es el teorema de los números primos. Que no hay ninguno en la línea $x=0$ se sigue de la ecuación funcional para la función zeta.) La conjetura es que todos los no-trivial de los ceros de la mentira en la línea crítica ($x = \frac{1}{2}$).
[F] mostró que, de hecho, la cinta puede ser reducido ligeramente. Para $|y| \geq 3$, las raíces deben tener $x \in \left( \frac{1}{57.54 (\ln |y|)^{2/3} (\ln \ln |y|)^{1/3}}, 1-\frac{1}{57.54 (\ln |y|)^{2/3} (\ln \ln |y|)^{1/3}} \right)$.
[H] y [HL] mostró que hay infinitamente muchos ceros en la línea crítica. [L] mostró que un tercio de la no-trivial de los ceros están en la línea crítica. [C] mejora de este a dos quintas partes. [BL] demostraron que, [*] para cualquier distancia de la línea crítica, la proporción de ceros que de lejos o más lejos disminuye a cero a medida que permitimos que un límite superior en $y$ a aumentar. (Esta es la forma general de estos resultados. Para algunos $Y>0$, contamos raíces en la tira finita $\{x+\mathrm{i}y \mid 0 < x < 1 \text{ and } -Y < y < Y\}$. Veamos entonces qué fracción de los que están en la línea crítica o están lo suficientemente lejos de la línea crítica como dejamos $Y$ de aumento.)
Alrededor de 1859, Riemann calcula la ubicación de los primeros ceros, la determinación de que estaban en la línea crítica. Este trabajo no fue publicado, pero utiliza la Riemann-Siegel fórmula sobre el papel de cero en su colección de obras y publicado en [S] (1932). En 1986, se van de Luna, te Riele, y en Invierno un poco famoso encontrado el 1.5 mil millones de ceros de menos positiva de la parte imaginaria estaban todos en la línea crítica. Este ha sido extendida por [GD] (2004) para los primeros 10 billones de dichos ceros.
No no trivial cero se conoce en forma cerrada. (Parece bastante improbable que cualquier cero tendrá una forma cerrada.)
[*] La primera versión de esta línea de lectura "para cualquier distancia de la línea crítica, sólo un número finito de ceros están muy lejos o más lejos de la línea." Esto no es del todo correcto. Aún hay infinitamente muchos ceros, por ejemplo, el $2^\text{nd}$, $(2^2)^\text{th}$, $(2^3)^\text{th}$, y así sucesivamente raíces son un conjunto infinito de raíces, cuya proporción del número total de raíces disminuye a cero.
[BL] Bohr, H.; Landau, E., "Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-und die Funktion L-Funktionen", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 37 (1): 269-272, 1914.
[C] Conrey, J. B., "Más de las dos quintas partes de los ceros de la de Riemann zeta función en la línea crítica", J. Reine angew. Math., 399: 1-16, 1989.
[F] Ford, K., "Vinogradov integral y límites para la Riemann zeta función". Proc. Londres Matemáticas. Soc. 85 (3): 565-633, 2002.
[GD] Gourdon, Xavier, "La $10^{13}$ primeros ceros de la de Riemann Zeta función, y los ceros computación en muy gran altura", auto-publicado, 2004. Véase también el Cálculo de los ceros de la función Zeta
[H] Hardy, G. H., "Sur les Zéros de la Función z(s) de Riemann", C. R. Acad. Sci. París, 158: 1012-1014, 1914.
[HL] Hardy, G. H.; Littlewood, J. E., "Los ceros de Riemann zeta función en la línea crítica", de Matemáticas. Z., 10 (3-4): 283-317, 1921.
[L] Levinson, N., "Más de un tercio de los ceros de Riemann zeta función en σ = 1/2", Adv. Matemáticas., 13 (4): 383-436, 1974.
[S] Siegel, C. L., "Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie", Quellen Studien zur Geschichte der Matemáticas. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2: 45 A 80, 1932.
