¿Qué es un ejemplo de un poder automorphism de un grupo que no es un poder universal automorphism?

Question

Un poder automorphism los mapas de cada subgrupo de un grupo dentro de sí mismo, con igualdad si el grupo es finito. Más específicamente, para un subgrupo $H$$G$, un poder automorphism $f$$f(H) \subseteq H$. Si $G$ es finito, a continuación,$f(H) = H$.

Hay muchas de estas de la forma $f:G \to G$, $f(x) = x^n$, especialmente para finitos abelian grupos. Este es un poder universal automorphism.

Quiero encontrar un ejemplo de un no-trivial de energía automorphism de un grupo finito que no es universal, en particular, con una idea de cómo se construye. Alguien puede darme un ejemplo?

Answer 1

He aquí un ejemplo: considere el automorphism de los cuaterniones grupo $Q_8$ cuya acción sobre sus generadores $i$, $j$, $k$ es como sigue: $$i \mapsto i \hspace{10pt} j \mapsto -j \hspace{10pt} k \mapsto -k$$

(Por supuesto, esto también funciona para$i \mapsto -i , j \mapsto j , k \mapsto -k$$i \mapsto -i \hspace{10pt} j \mapsto -j \hspace{10pt} k \mapsto k$.)