$p,q,r$ tres proyecciones; demuestre que si $p+q+r = 0$ entonces $p =q =r =0$

Question

Dejemos que $\mathbb F$ sea un campo de característica cero.

Dejemos que $E$ ser un $\mathbb F$ -espacio vectorial.

Dejemos que $p,q,r$ sean tres proyecciones de $E$ .

Demostrar que si $p+q+r = 0$ entonces $p =q =r =0$ .

El caso de dimensión finita es realmente fácil utilizando la traza (ya que el rango o una proyección es igual a su traza).

¿Cómo tratar el caso de la dimensión infinita?

Algunas reflexiones:

Se puede ver que $p(E) \cap q(E)= \{0\}$ desde $-2$ no es un valor propio para $r$ .

Igualmente, $p(E) \cap r(E)= q(E) \cap r(E) =\{0\}$ .

Por lo demás, $\ker p \cap \ker q \subset \ker r$

$\ker p \cap \ker r \subset \ker q$ y $\ker q \cap \ker r \subset \ker p$

...

Answer 1

Dejemos que $v \in q(E)$ . Entonces $$-v - r(v) = p(v) = -p(-p(v)) = -p(v + r(v)) = v + q(r(v)) + 2r(v).$$ Por lo tanto, $r(v) = (-2v-q(r(v)))/3 \in q(E)$ . Pero esto significa $q(r(v)) = r(v)$ y realmente $v +2r(v) = 0$ . Pero ahora $v \in r(E)$ y $v = 0$ . Por lo tanto, $q = 0$

Ahora se puede repetir el mismo argumento para demostrar que las tres proyecciones desaparecen. Alternativamente $p = -r$ y se aplica el argumento expuesto por @lisyarus.