Hay un análogo de la regla de integración por el cociente de la regla?
Para una función racional $P(x)/Q(x)$, la respuesta es afirmativa, y se llama la Ostrogradsky-método de Hermite. Me adapto a esta respuesta de la mina.
La integración de una función racional $P(x)/Q(x)$ sin descomposición en fracciones parciales y sin encontrar las raíces del denominador, podemos utilizar el Ostrogradski-método de Hermite. Usted puede encontrar una descripción de este método en la sección 2.1 de Gradshteyn y Ryzhik de la Tabla de Integrales, Series y Productos, donde la identidad de $(2)$ fuelle es dado. La fórmula $(1)$ aparece también en el Ostrogradsky la página de la Wikipedia.
Suponga que $\deg P(x)<\deg $ $Q(x)$. Existen polinomios $P_{1}(x)$, $P_{2}(x)$, $Q_{1}(x)$ y $Q_{2}(x)$, $Q_{1}(x)=\gcd \left\{ Q(x), Q^{\prime }(x)\right\}$ y $Q_{2}(x)=Q(x)/Q_{1}(x)$, $\deg P_{1}(x)<\deg Q_{1}(x)$, $\deg P_{2}(x)<\deg Q_{2}(x)$, tal que
\begin{equation}
\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\frac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}+\int \frac{P_{2}(x)}{
Q_{2}(x)}dx.\tag{1}
\end{equation}
De hecho, por la diferenciación y multiplicación por $P(x)$, tenemos
\begin{eqnarray*}
P(x) &=&\frac{P_{1}^{\prime }(x)Q_{1}(x)-P_{1}(x)Q_{1}^{\prime }(x)}{\left\{
Q_{1}(x)\right\} ^{2}}Q(x)+\frac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}Q(x) \\
&=&P_{1}^{\prime }(x)\frac{Q(x)}{Q_{1}(x)}-P_{1}(x)\frac{Q_{1}^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}\frac{Q(x)}{Q_{1}(x)}+P_{2}(x)\frac{Q(x)}{Q_{2}(x)} \\
&=&P_{1}^{\prime }(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x)\left\{ \frac{Q_{1}^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}Q_{2}(x)\right\} +P_{2}(x)Q_{1}(x)
\end{eqnarray*}
o
\begin{equation}
P(x)=P_{1}^{\prime }(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x)\left\{ T(x)-Q_{2}^{\prime }(x)\right\}+P_{2}(x)Q_{1}(x),\tag{2}
\end{equation}
con $T(x)=Q^{\prime }(x)/Q_{1}(x)$, porque a partir de
\begin{equation*}
Q^{\prime }(x)=\left\{ Q_{1}(x)Q_{2}(x)\right\} ^{\prime }=Q_{1}^{\prime
}(x)Q_{2}(x)+Q_{1}(x)Q_{2}^{\prime }(x)=T(x)Q_{1}(x)
\end{ecuación*}
obtenemos
\begin{equation*}
\frac{Q_{1}^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}Q_{2}(x)+Q_{2}^{\prime }(x)=T(x).
\end{ecuación*}
Para encontrar los coeficientes de los polinomios $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$ comparamos los coeficientes de poderes de $x$ y/o $x=x_1,x_2,\dots$ hasta que obtenemos un sistema de ecuaciones lineales en los coeficientes.
