¿Por qué la probabilidad de elegir un número impar del conjunto de los números naturales no es $\frac{1}{2}$ ?

Question

¿Por qué la probabilidad de elegir un número impar del conjunto de los números naturales no es $\dfrac{1}{2}$ ?

¿Alguien podría explicármelo de forma sencilla?

Sólo tengo curiosidad por saber el motivo y por eso he pedido una explicación "sencilla". Recuerdo que mi profesor mencionó que es porque el conjunto es infinito. ¿Es eso cierto? ¿Puede alguien explicarlo?

Answer 1

El problema de la probabilidad es que no es tan intuitiva como parece.

Si tiras un dado de seis caras, hay seis resultados, y es justo asumir que todos son igualmente probables. En ese caso, la probabilidad de obtener un 3 es $\frac{1}{6}$ y la probabilidad de obtener un número impar es $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Ciertamente, esto no depende demasiado del número de caras del dado. Si tiene $2n$ lados, numerados $1$ a través de $2n$ la probabilidad de obtener un 3 es $\frac{1}{2n}$ y la probabilidad de un lado numerado por impar es $\frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$ .

¿Y si tienes un dado con una cara por cada número natural? ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 ahora? Como hay infinitos resultados posibles, no puedes limitarte a contarlos y considerarlos igualmente probables. En su lugar, necesitas, para cada número natural $k$ una probabilidad no negativa $p_k$ que es la probabilidad de obtener un $k$ . Dado que los posibles resultados son el conjunto de números naturales, requerimos $$ p_0 + p_1 + p_2 + p_3 + \dots = 1 $$ Aun así, no hay garantía de que $$ p_1 + p_3 + p_5 + \dots = \frac{1}{2} $$

Por eso tu profesor dijo que el problema no está bien definido cuando se trata del conjunto infinito de números naturales. Es necesario conocer la función de probabilidad antes de poder responder a la pregunta.

Answer 2

Empecemos con la hipótesis de que hubiera una distribución uniforme sobre los números naturales, donde pensaríamos que la probabilidad buscada sería $\frac{1}{2}$ . Daré argumentos intuitivos de por qué esto no puede funcionar.

Tomo prestada la idea de Matthew del dado con una cara para cada número natural. Imaginemos este dado como una canica perfecta, en la que cada pequeño punto infinito en ella sea un número natural. Una vez lanzada la canica, obtendremos un mensaje en nuestro ordenador sobre qué número ha salido, ya que no podemos leer lo que hay en los infinitos puntos. Pero no importa la cantidad de almacenamiento que tenga tu PC, al instante dejará de funcionar porque el almacenamiento está lleno.

Ejemplo: La imagen de su almacenamiento es de 1 exabyte, unos mil millones de gigabytes o $10^{18}$ bytes. Para simplificar, dejemos que un byte pueda representar 1 dígito. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un número lo suficientemente pequeño como para ser representado? Pues bien, no hay simplemente números con un máximo $10^{18}$ dígitos (el número más pequeño con $10^{18}$ dígitos es $10^{\left(10^{18}\right)}$ ) pero también números con $10^{18}+1$ dígitos o $10^{19}$ dígitos, que es mucho más. Así que olvidemos por un momento que tenemos infinitos números naturales y sólo tratemos con números con hasta $10^{19}$ dígitos. La probabilidad de sacar un número con un máximo de $10^{18}$ dígitos de todos los números con un máximo de $10^{19}$ dígitos es

$$p=\frac{10^{\left(10^{18}\right)}}{10^{\left(10^{19}\right)}}=10^{\left(10^{18}-10^{19}\right)}=10^{-\left(9\cdot 10^{18}\right)}$$

Whoops, esto es un poco pequeño para imaginar, es básicamente $0$ en todos los sentidos imaginables. Pero tengamos en cuenta que $p< 2.76\cdot 10^{-16}$ (por un margen realmente grande) que es la probabilidad de tirar dos 1 con dos dados de seis caras 10 veces seguidas . Puedes probar lo inprobable que es eso en casa. Así que en conclusión, si sólo tenemos $10^{10^{19}}$ de los infinitos números posibles, es casi seguro que no podemos registrar el resultado de lanzar nuestra canica. Si tenemos todos los números en ella, la probabilidad sólo puede hacerse más pequeña.

Pero digamos que, por casualidad, obtenemos uno de estos números con $10^{18}$ dígitos al máximo y se guarda en nuestro ordenador, un archivo de tamaño 1 exabyte. Por un argumento similar al anterior, es razonable suponer que nuestro número tiene al menos $10^{17}$ dígitos, nuestro en nuestro experimento, exactamente ese número. Ya hemos tenido suerte al conseguirlo en primer lugar, así que no lo intentemos de nuevo. Dado que nuestro PC puede almacenar un exabyte, podemos decir simplemente que es puntero y que tiene un procesador de 1 Terahercio o 1000 Gigahercios, lo que significa que puede realizar $10^{12}$ operaciones elementales por segundo. Supongamos que queremos inspeccionar nuestro número aleatorio dígito a dígito y que el PC sólo necesita una operación elemental para mostrar un dígito (lo cual es una velocidad poco realista, pero fácil de trabajar). Entonces nuestro PC necesitaría

$$t_{PC}=\frac{10^{17}}{10^{12}}= 10^{17-12} = 100,000$$

segundos o más de 27 horas sólo para mostrarlos todos. Sí, pero eso no nos sirve de nada, con los números sólo parpadeando en la pantalla, queremos leerlos. Asumamos generosamente que podemos leer 100 dígitos por segundo, entonces necesitaríamos

$$t = \frac{10^{17}}{100} = 10^{15} $$

segundos o más de 31 millones de años para leerlos todos. No está mal.

Pero volvamos a suponer que el ordenador puede decirnos si el número aleatorio es impar o par, porque es inteligente y sólo busca el último dígito en un segundo. Ahora queremos probar nuestra hipótesis inicial y sacar algunos números para saber si la probabilidad empírica se acerca a $\frac{1}{2}$ . Quien sepa un poco de estadística argumentará que ésta no es la mejor manera de probar nuestra hipótesis, pero tenemos un superordenador, así que cállate. Sería ahorrarnos el suponer que cargar un número aleatorio que el ordenador puede guardar nos llevaría más de un día (ya que escribir un dígito puede ser como mucho una operación elemental). PERO seguimos teniendo el problema de que sólo podemos guardar números con un máximo de $10^{18}$ dígitos. Así que tenemos que lanzar nuestra canica tantas veces como sea necesario hasta que consigamos tal número. De nuevo, en lugar de números infinitos, digamos que sólo suben hasta $10^{19}$ dígitos. ¿Cuántas veces, en promedio, tenemos que lanzar la canica hasta que se produzca un número salvable? Según Wikipedia el número esperado de fallos antes del primer éxito es

$$E=\frac{1-p}{p}= p^{-1} - 1 = 10^{\left(9\cdot 10^{18}\right)} -1 $$

Huh, de nuevo ese gran exponente. Más pequeño que un Googolplex pero aún así... Si suponemos que hacemos un intento por segundo y un millón de años contiene aproximadamente $10^{13}$ segundos necesitaríamos unos

$$Y=\frac{E}{10^{13}}\approx 10^{\left(9\cdot 10^{18}-13\right)}$$

millones de años. Bueno, eso no ayudó mucho. Pero tengamos en cuenta que $Y$ es mucho más grande que $10^{85}=10^{\left(10^3-15\right)}$ la estimación máxima de partículas fundamentales del universo . Si tuviéramos que tratar con todo el conjunto de números naturales, probablemente observaríamos un gazillón de big bangs y muertes del universo antes de conseguir un número lo suficientemente pequeño como para salvarlo. Un número. Uno. Normalmente realizamos experimentos para probar hipótesis con más de 1 ejemplo. Además no observamos la muerte del universo mientras tanto.

Conclusión

La noción de una distribución de probabilidad uniforme sobre los números naturales sólo puede parecernos intuitiva porque no tenemos ninguna intuición sobre el tamaño que pueden alcanzar estos números naturales. Por lo tanto, tampoco podemos hacer predicciones razonables sobre si un número uniformemente aleatorio sería impar o incluso porque este tipo de azar no puede existir. Espero haber podido dar alguna idea sobre los números más grandes con este post. Como se señala en el comentario de Aire Acondicionado, para un enfoque más formal leer esta pregunta Es muy informativo.