Tocar con los dígitos $739$ más de tres dígitos, de modo que el número resultante $739 \text{_ _ _}$ es divisible por $6, 7, 8$, e $9$.
Puedo hacer una rápida estimación y verificación, así como algunos pequeños trucos con $9$, $7$, $6$, y $8$, para llegar a una respuesta, pero ¿cómo podía mostrar esto con más rigor (como más concreto de la teoría de números)?
Respuestas: $739368$ $739872$
SUGERENCIA
Vamos a indicar
$$n=739xyz=7\cdot10^5+3\cdot10^4+9\cdot10^3+x\cdot10^2+y\cdot10+z$$
y considerar
Así, algunas rápida eliminación.
Si un número es divisible por $9$$8$, entonces es divisible por $3$ $2$ y, por tanto,$6$. Así que no tiene que preocuparse acerca de $6$. Si podemos encontrar un número que es divisible por $8$$9$, será divisible por $6$.
$8|1000$ $8$ divide $739000$, por lo que sólo tenemos que encontrar a $abc$ a ser divisible por $8$.
El uso de la "suma de los dígitos tienen el mismo resto dividido por $9$". $739000 \equiv 7+ 3 + 9 \equiv 1 \mod 8$. Por lo $739000 + abc \equiv 1 + abc \mod 9$.
Así que necesitamos a $abc \equiv -1 \equiv 8 \mod 9$.
Y $739000 \equiv 7000000 + 39000 \mod 7 \equiv 35000 +4000 \mod 7 \equiv 3500 + 500 \equiv 490 + 10 \equiv 7 + 3\equiv 3 \mod 7$. Por lo $739000 + abc\equiv 3 + abc \mod 7$. Así que necesitamos a $abc \equiv - 3 \equiv 4 \mod 7$.
Así que necesitamos a$abc \equiv 0 \mod 8$$abc \equiv 4 \mod 7$$abc \equiv 8 \mod 9$.
Podemos utilizar el teorema del resto chino.
Para obtener $abc \equiv 4 \mod 7$ $abc \equiv 0 \mod 8$ debemos encontrar $m = 0 + 8k = 4 + 7j \mod 7*8$. Por el juicio (juicio de comparación de $4,11,18,25,32,39,46,53$$0, 8, 16, 24, 32, 40, 48$) y error (error de ser $4,11,18,25,39,46,53,0, 8, 16, 24, 40, 48$ no trabajo) nos encontramos con que $32$ es la respuesta correcta.
Por el teorema del resto chino $abc \equiv 32 \mod 56$ es la única solución de mod $56$.
Bear with me: $56 \equiv 2 \mod 9$ ("la suma de los dígitos de un múltiplo de $9$ es un múltiplo de a $9$") y $32 \equiv 5 \mod 9$ (ídem) lo $32 +k*56 \equiv 5 + k*2 \mod 9$. Por lo $32 + 6*56 = 368\equiv 8 \mod 9$ $368$ está: a) divisible por $8$, b) resto $4$ cuando se divide por $7$ e c) resto $8$ cuando se divide por $9$.
Para encontrar otros números donde esto es cierto, debemos agregar $7*8*9 = 504$.
Así que los dos números son $739368$ $739872$
Deje que el número de se $[739ABC]$.
$$\begin{array} &\hline & &739000&[ABC]&[739ABC]&\text{Remarks}\\ \hline \mod 9 && 1 &8 & 0& A+B+C=9z+8=8,17,26&\cdots (1)\\ \mod 8 && 0 & 0 & 0& [ABC]=8n&\cdots (2)\\ \mod 7 && 3 & 4 & 0&[ABC]=7m+4&\cdots (3)\\ \hline & & & & &(m,n,z\in\mathbb Z; A+B+C<27)\\ \hline \end{array}$$
Divisibilidad por $8$ $9$ asegura también por $6$, por lo que no necesita más.
De trabajo a través de$^*$ el de arriba te da $$[ABC]=368\;\text{or}\; 872$$
*Más detalles
La combinación de $(2),(3)$ da $7m=8n-4=4(2n-1)=4\cdot 7\cdot (2q-1)$, es decir,$m=4(2q-1)$.
Por lo tanto $[ABC]=4+7m=8(7q-3) \; (q\in\mathbb Z)$, es decir,$[ABC]=32,88,144,\cdots,984$.
La combinación de con $(1)$ da $9a=7q-4\; (a\in \mathbb Z)$, que sólo trabaja para $q=7,16$, dando $[ABC]=368\text{ or } 872$.
Dicen que tus dedos se $a,b,c$. Ya que es divisible por 6,7,8,9 debe ser divisible por 7, 8, 9 (luego de divisibilidad por 6 es implícita).
Se puede derivar un criterio de divisibilidad por 7?
Un número es divisible por $6,7,8$ $9$ si y sólo si es divisible por el mínimo común múltiplo de a$6,7,8$$9$,$504$. Por lo que necesita para encontrar los números entre el $739000$ $739999$ que son divisibles por (es decir, múltiplos enteros de) $504$. Si usted divide $739000$$504$, se obtiene un resto de $136$, por lo que el primer múltiplo de $504$ mayor que $739000$ $504-136 = 368$ mayor que $739000$,$739368$. Y $739368+504=739872$ es el siguiente múltiplo de $504$ después de eso y se adapta a la exigencia.
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