¿Cómo se obtiene el piso función de un número complejo? Se define? En particular, por ejemplo, ¿cuál es el valor de $\left \lfloor \frac{1}{3} + \frac{i}{2} \right \rfloor $?
No sé la respuesta a este problema. Esto es simplemente por curiosidad, ningún motivo especial para su publicación.
Interesante idea. No ha sido definida para los números complejos, pero puedo proponer una forma de definirlo de forma análoga.
En el número de la línea, si un número $x$ sobre el segmento de línea entre los dos más cercano enteros, visualizo la función del suelo como "empujar" $x$ a la izquierda. En el plano complejo, un número $z$ podría no caer en un segmento de línea, pero en el medio de una unidad cuadrada formada por entero partes real e imaginaria. Si esto es así, podríamos definir la función del suelo como "empujar" $z$ a la esquina suroeste de la plaza. Esto es equivalente a los pisos, tanto las partes real e imaginaria de $z$. Así, podemos definir la $\lfloor z \rfloor$ sobre el complejo de $z$ mediante la definición de $$\lfloor a+bi\rfloor:=\lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor i$$ con $a,b\in\mathbb R$.
Si este es el caso, entonces tendríamos $$\bigg\lfloor \frac{1}{2}+\frac{i}{2}\bigg\rfloor=0$$
No está definido, pero puede ser definida, pero puede que no te guste la respuesta.
La razón por la que no se puede definir de una forma directa es que los números complejos no admiten un orden. Como mucho ha sido dicho por otros socorristas, pero creo que no hay más que decir que "no se puede."
En primer lugar, considerar sólo los números complejos con rational partes real e imaginaria.
Dado que existe una cierta relación entre un número entero de cociente y el suelo, un problema que puede arrojar algo de luz sobre la cuestión es encontrar el MCD de dos enteros de gauss, los números de la forma $a+bi,~ a,b\in \mathbb{Z}$. El algoritmo de Euclides para encontrar el MCD mediante los cocientes de enteros de Gauss (que se define en un momento) va a terminar, pero el MCD calcular sólo es único hasta la multiplicación por $1, -1, i,~ \mathrm{and}~ -i$. Con el MCD de dos enteros podemos imponer singularidad simplemente eligiendo el positivo, pero no hay manera de hacer esta elección en los números complejos. La pregunta es, realmente, entonces, lo que significaría por el cociente de dos enteros de Gauss.
A tu pregunta sobre el piso de $\frac{1}{3} + \frac{1}{2}i$ puede ser visto como pidiendo el cociente de $\frac{2+3i}{6+0i}$ y el tanto $0+0i$ $0+1i$ sería aceptable de resultados. Recuerde que el cociente y el resto de la $\frac{a}{b}$ satisfacer $a = bq+r$ y seleccionamos $q$, de modo que $q$ es el entero más grande dejando $r\geq 0$. Pero no hay tal opción única en $\mathbb{C}$ porque no se pueden pedir $\mathbb{C}$ $\geq$ lo que significa que puede seleccionar diferentes $q$. En este caso, si elegimos $q=0$$r$$2+3i$, y si elegimos $q=i$, el resto es $2-3i$. Ambas tienen la misma magnitud de $\sqrt{13}$, por lo que es la "correcta" para minimizar el resto?
Entonces, ¿cómo definir el cociente de dos enteros de Gauss? Realizar ordinario compleja división por racionalizar el denominador y distribución, ronda de la parte real y la parte imaginaria. No importa si usted redondo $\frac{1}{2}$ $0$o $1$, mientras que el párrafo anterior se muestra, pero no cabe duda de asuntos que, por ejemplo, $\frac{3}{4}$ rondas de a $1$. En aras de la exhaustividad debo mencionar que el ordinario MCD algoritmo también no importa si usted utiliza el redondeo, se le dará el derecho MCD hasta la multiplicación por una unidad (es decir,$-1$). A diferencia de los números enteros, sin embargo, si intenta utilizar solo piso con enteros de Gauss puede entrar en un ciclo interminable y el algoritmo no va a terminar.
Dado lo anterior, $\lfloor a+bi\rfloor,~ a,b\in \mathbb{R}$ debe ser el número complejo a $\lfloor a\rceil + \lfloor b\rceil i$.
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