¿Cómo podemos llegar a la definición de logaritmo natural?

Question

Aprendí cálculo durante 2 años, pero aún no entiendo la definición de $\ln(x)$

$$\ln(x) = \int_1^x \frac{\mathrm d t}{t}$$

No le encuentro sentido a esta definición. ¿Cómo puede encontrarla la gente? ¿Tiene alguna intuición?

Answer 1

Queremos una función que transforme la multiplicación en suma. Es decir, queremos $$f(xy) = f(x) + f(y).\tag 1 $$

Sustituyendo $y=1,$ obtenemos $f(x) = f(x) + f(1),$ por lo que sabemos que $f(1) = 0.$

Supongamos que $f$ es diferenciable. Al fin y al cabo, queremos encontrar una función lo más agradable posible. Mantengamos $y$ constante por el momento, y diferenciando $(1)$ da $$yf'(xy) = f'(x) \implies \frac{f'(xy)}{f'(x)}=\frac{1}{y}$$

Ahora no es difícil adivinar que $f'(x) = 1/x$ llena la factura, y junto con $f(1)=0,$ el teorema fundamental del cálculo nos da la definición.

Answer 2

Muchos textos de cálculo comienzan con la exponencial, y el hecho de que es igual a su propia derivada, y que tiene una función inversa si se toma el codominio como $(0,\infty)$ . Por el Teorema de la función inversa si escribimos $f(x)=e^x$ y $b=e^a$ , $$\tag1 (f^{-1})'(b)=\frac1{f'(a)}=\frac1{e^a}=\frac1b. $$ La función inversa de la exponencial suele denominarse $\ln x$ y por $(1)$ sabemos que $(\ln x)'=1/x$ . También sabemos que $\ln 1=0$ ya que $e^0=1$ . Entonces $$\tag2\ln x=\int_1^x(\ln t)'\,dt=\int_1^x\frac1t\,dt. $$ Lo anterior demuestra que el logaritmo natural debe satisfacer $(2)$ .

Ahora bien, no es fácil dar con la exponencial de forma constructiva, en particular a un nivel elemental. Así que es más fácil empezar con $(2)$ y construir la exponencial como la inversa de $\ln x$ .

A un nivel más avanzado, se puede empezar por definir $e^x$ a través de la serie de Taylor y luego deducir $(2)$ como arriba. Pero eso no serviría en un primer curso de cálculo.

Answer 3

La motivación para considerar una función de este tipo puede venir de la siguiente observación. Sabemos que $$ \int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\quad (n\neq-1). $$ De ahí que podamos estar interesados en una antiderivada de $1/x$ . Así, consideramos la función (que denominamos) $$ \log(x)=\int_{1}^x\frac{1}{t}\,dt $$ que tiene la propiedad de que $(\log x)'=\frac{1}{x}$ por el teorema fundamental del cálculo. A partir de aquí podemos deducir sus propiedades (como $\log(xy)=\log(x)+\log(y), (x,y>0))$ y te das cuenta de que la función es efectivamente el logaritmo.

Answer 4

Debo admitir que se trata de un planteamiento poco obvio. La idea de logaritmo tal como se presenta en la escuela secundaria es muy simple y sólo se considera otra forma de reescribir la ecuación $a^x=b$ como $x=\log_{a} b$ . El supuesto crucial es que $x$ es un número racional y $a>0,a\neq 1$ . Pero tal presentación no define el símbolo $\log_{a} b$ para todos $b$ . En cambio, las tablas de registro enumeran sistemáticamente los valores de $\log_{10}b$ para todos $b$ con $0<b<10$ que pueden distinguirse mediante $4$ dígitos decimales. Es evidente que la presentación anterior es muy confusa y totalmente insatisfactoria si queremos dar significado al símbolo $\log_{a} b$ para todos los reales $b>0$ .

Sin embargo, lo más importante de esta presentación es que $$\log_{a} (xy) =\log_{a} x+\log_{a} y$$ siempre que cada término de ambos lados de la ecuación sea racional. Esto nos da una idea para pensar en las funciones $f$ para la cual la ecuación $$f(xy) =f(x) +f(y) \tag{1}$$ se cumple en general y, a continuación, utilizando algunos supuestos, es posible demostrar que $f'(x) =k/x$ para alguna constante $k$ (véase esta respuesta ). Por tanto, la ecuación funcional $(1)$ nos da algunas pistas sobre la derivada de dicha función y podemos definir el logaritmo como una integral (como en tu pregunta) y mostrar fácilmente que la ecuación funcional $(1)$ se cumple.

Otra opción es empezar con la función $f(x) =a^x$ y definirlo no sólo para $x$ sino también para irracional $x$ utilizando límites. Así, si $\{x_n\} $ es una sucesión de números racionales que converge a $x$ entonces podemos definir $a^x=\lim_{n\to\infty} a^{x_n}$ . Este enfoque se presenta en este entrada del blog . En este planteamiento surge el logaritmo no como función inversa sino que surge como un límite $$\log a=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\tag{2}$$ mientras intentaba averiguar la derivada de $f(x) =a^x$ . Utilizando la definición de límite $(2)$ se demuestra fácilmente que $\log$ satisface la ecuación funcional $(1)$ y que $(\log x) '=1/x$ para que $\log x=\int_{1}^{x}t^{-1}\,dt$ .

Answer 5

No soy un experto en la historia de las matemáticas, así que tomen lo que digo con un grano de sal, pero aquí está mi conjetura en cuanto al desarrollo histórico de la definición de $\ln(x)$ .

Jacob Bernoulli descubrió la constante $e$ en el estudio del interés compuesto. Wikipedia sobre e

Una vez que haya $e$ definido es natural estudiar $e^x$ que también se da en el interés compuesto, y su inversa, $\ln(x)$ . Por tanto, desarrollar la definición de $\ln(x)$ como la inversa de $e^x$ parece el camino natural, pero hay que superar varios obstáculos si se quiere hacer con rigor. Habría que definir $e^x$ rigurosamente, demostrar que tiene una inversa, demostrar que la inversa debe ser continua, etc. Así que los textos modernos de cálculo suelen tomar otro camino y definen $\ln(x)$ como el valor de una integral. De este modo se sortean la mayoría de los problemas de rigor, pero se suele presentar de un modo poco motivador. No me sorprende que muchos estudiantes encuentren este enfoque poco intuitivo.

Sin embargo, este enfoque retrospectivo es bastante común en matemáticas. Se empieza estudiando un objeto $A$ y encontrar que conduce a otro objeto, $B$ . Entonces $B$ te lleva a $C$ . Pero el camino de $A$ a $B$ es largo, mientras que el camino desde $B$ a $C$ es más corto, por lo que se trabaja hacia atrás desde $C$ a $B$ y presentarla como su teorema o definición, borrando cuidadosamente todo rastro de su camino original de $A$ . Esto es limpio y eficiente (en términos de presentación), pero deja a todos los demás preguntándose cómo diablos llegaste allí.