Encontrar las raíces de una determinada ecuación cuártica

Question

He estado tratando de resolver este problema del Encuentro de Matemáticas de Duke, que no proporciona una solución:

Encuentra todas las soluciones de $(x^2+7x+6)^2 + 7(x^2+7x+6) + 6=x$

Al principio intenté factorizar el polinomio, pero siempre quedaba el lado derecho x, lo que era un inconveniente. Entonces intenté utilizar el hecho de que se puede escribir el lado izquierdo como una composición de funciones, y lo equiparé con la inversa de la cuadrática enchufada a la función, pero eso era una ecuación muy desagradable con raíces cuadradas, que seguía terminando con un cuático.

¿Qué otras vías de solución son viables para este problema, y hay una forma de factorizar el cuártico?

Answer 1

Dejemos que $$y=x^2+7x+6$$ $$x=y^2+7y+6$$ así $$y-x=(x-y)(x+y)+7(x-y)$$ por lo que

$$x=y$$ o

$$-1=x+y+7$$

Ambos casos reducen el problema a simples ecuaciones cuadráticas.

Y usted obtiene $$x=-4\pm\sqrt{2},-3\pm\sqrt{3}$$

Answer 2

Definir $f(x)\stackrel{\text{def}}{=}x^2+7x+6$ . Entonces, como has observado, esta ecuación es $$f(f(x))=x\text{.}$$ Ciertamente, cualquier solución de $f(x)=x$ es una solución de su ecuación, ya que para tal $x$ , $f(f(x))=f(x)=x$ .

Ahora bien, aquí está el truco: ya que $f(x)-x$ y $f(f(x))-x$ son polinomios tales que las raíces del primero son raíces del segundo, Podemos utilizar el Algoritmo de División para obtener un nuevo polinomio cuadrático $$g(x)=\frac{f(f(x))-x}{f(x)-x}\text{.}$$ Entonces las raíces de $f(f(x))-x$ son las raíces de $f(x)-x$ junto con las raíces de $g(x)$ .