Función que genera la secuencia 1, 2, 3, 1, 2, 3,...

Question

Me preguntaba cómo asignar el conjunto de $\mathbb{Z}^+$ a la secuencia de $1, 2, 3, 1, 2, 3, \ldots$. Pensé que iba a ser fácil, pero yo sólo era capaz de obtener una respuesta a través de ensayo y error.

Para una función de $f \colon \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}$, tenemos que

$f(x) = x \bmod 3$ da los números de $1, 2, 0, 1, 2, 0, \ldots$

$f(x) = (x \bmod 3) + 1$ da los números de $2, 3, 1, 2, 3, 1, \ldots$

Después de un poco de experimentación, por fin he encontrado que

$f(x) = ((x + 2) \bmod 3) + 1$ da los números de $1, 2, 3, 1, 2, 3, \ldots$

Más generalmente, si quiero asignar el conjunto de $\mathbb{Z}^+$ a la secuencia de $\{1, 2, \ldots, n, 1, 2, \ldots, n, \ldots\}$, necesito usar la función

$$f(x) = ((x + n - 1) \bmod n) + 1$$

Yo sólo era capaz de llegar a este resultado, por ensayo y error. Yo no era capaz de encontrar una solución a esta pregunta relativamente simple en línea (aunque tal vez mis términos de búsqueda fueron off).

¿Cómo podría uno llegar a este resultado de una manera más sistemática?

Answer 1

Se dio cuenta ya que $\,x \bmod n\,$ da la secuencia periódica $\,(1, 2, \ldots, n-1, \color{red}{0}, 1, \ldots)\,$ entonces el resto es a "cambio" para ajustar los valores de inicio y fin deseado. Para $\,(1, 2, \ldots, \color{red}{n}, 1, \ldots)\,$ por ejemplo, necesita cambiar $\,x \bmod n\,$ $\color{blue}{1}$ y $\,x\,$ $\color{green}{1}$ para compensar por ello. Así que al final se estaría consiguiendo $\,\color{blue}{1} + (x-\color{green}{1}) \bmod n\,$ y de curso $\,(x-1) \bmod n = (x+n-1) \bmod n\,$.

Answer 2

El $k$:th número será: $$[1,0,0]{\bf C}^k[1,2,3]^T$$

donde ${\bf C}= \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right]$

Ahora usted puede cambiar el vector de la derecha para cualquier conjunto ordenado de números que usted desea $\bf C$ycle a través de.

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(En realidad, es una representación de la matriz para un generador del grupo cíclico $C_3$ si desea profundizar en algunos teoría).

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Ahora, para hacer de esta una función de $k$, (que en realidad es lo que se le pide), tal vez usted prefiere la notación

$$k\overset{f(k)}{\longrightarrow} [1,0,0]{\bf C}^k[1,2,3]^T$$ o tal vez

$$f(k)= [1,0,0]{\bf C}^k[1,2,3]^T$$

Answer 3

Como una alternativa, aquí es puramente una función trigonométrica que genera la secuencia requerida:

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}\sin(\frac 23\pi(x-2))}{\cos(\frac 23\pi(x-2))+2}+2$$

Aquí tenemos $f(1)=1$, $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=1$, y así sucesivamente.

Answer 4

$f(x)=\left\lfloor 10^x\cdot {123\over999}\right\rfloor\mod 10$.

Más generalmente, con $b>n>1$, $$ f (x) = \left\lfloor b ^ x\cdot {(123\ldots n) _b\over b ^ n-1} b de \right\rfloor\mod. $$

Answer 5

Supongamos que queremos encontrar una fórmula para que la secuencia de \begin{align*} \color{blue}{3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{3},1,3,3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{3},1,3,3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{3},1,3,\ldots} \end{align*} la repetición de los ciclos de $6$ elementos.

El $r$-th raíces de la unidad $\omega_j=\exp\left(\frac{2\pi ij}{r}\right), 0\leq j<r$ tienen la propiedad de nice para filtrar los elementos. Para $r>0$ obtenemos \begin{align*} \frac{1}{r}\sum_{j=0}^{r-1}\exp\left(\frac{2\pi ij n}{r}\right)= \begin{cases} 1&\qquad r\mid n\\ 0& \qquad otherwise \end{casos} \end{align*} Por lo tanto, la secuencia de \begin{align*} \left(\frac{1}{6}\sum_{j=0}^5\exp\left(\frac{2\pi ijn}{6}\right)\right)_{n=0}^{\infty} =(\color{blue}{1},0,0,0,0,0,\color{blue}{1},0,0,0,0,0,\color{blue}{1},\ldots)\tag{1} \end{align*} genera un $1$ en cada una de las $6$-ésima posición y $0$ lo contrario y multiplicación con $3$ da una secuencia con $3$ en cada una de las $6$-ésima posición y $0$ lo contrario.

Adecuadamente el desplazamiento de (1) puede ser usado para generar una $1$ en cada una de las $6$-ésima posición desplazado por $k$ posiciones con $0\leq k < 6$. Multiplicación con $3,1$ $\frac{1}{3}$ y la adición de todos estos términos se proporciona la quería secuencia.

Sugerencia: Algunos ejemplos instructivos puede encontrarse en H. S. Wilf del libro generatingfunctionology, (2.4.5) a (2.4.9).