Es la suma de independiente unimodal variables aleatorias todavía unimodal? Si sí, por favor puede darme alguna pista sobre por qué se mantiene? Si no, ¿me puede mostrar algunos contra-ejemplo y sugerir bajo qué condiciones la suma sigue siendo unimodal? Gracias de antemano.
Respuestas
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Robert Christie
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Además de Henning la respuesta, aquí es una distribución continua ejemplo de unimodal densidad, la suma no es unimodal: $$ f_X(x) = \frac{1}{182} \max\left( \frac{128}{x^2}, 42 - 5x \right) \mathbf{1}_{x \ge 1} $$
La densidad de $f_{X+Y}(z)$ es feo, por lo que su forma explícita se suprime en la instantánea.
sewo
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No es cierto en general. Considere la posibilidad de una discreta caso de que $P(X=0)=\frac12$$P(X=i)=\frac1{2n}$$1\le i\le n$, y deje $Y$ tienen la misma distribución.
A continuación, $$P(X+Y=0)=\frac14$$ $$P(X+Y=1)=2\frac 12\frac1{2n}=\frac1{2n}$$ $$P(X+Y=n)=\frac1{2n}+\frac{n-1}{(2n)^2}$$ por lo que la distribución de la suma no es unimodal (en el sentido de que el pdf sólo tiene un máximo local). Este contraejemplo puede ser aproximada por un continuo y suave de distribución.
Dilip Sarwate
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Como Henning Makholm puntos, el resultado no es cierto en general. Yo creo que si el independiente de las variables aleatorias tienen idéntico unimodal distribuciones simétricas sobre el modo, la suma tendrá distribución unimodal que es simétrica sobre el modo, pero no tengo una prueba trabajado en detalle. El unimodality debe seguir a partir de la convolución y la de Cauchy-Schwarz desigualdad.
