Interpretación de los elementos de H^1 en gavilla cohomology.

Question

Dada una variedad V y un localmente libre (coherente) gavilla $\mathcal{F}$ de rango 1 (equivalente a una línea de paquete de $L$), puedo hacer un Cech cohomology. A continuación, $H^0(V; \mathcal{F})$ son sólo global de las secciones. Es allí una manera similar comprensible el significado de los elementos de $H^1(V; \mathcal{F})$?

Gracias!

Answer 1

$H^1$ es la primera derivada functor de la functor $H^0$ de las secciones.

En la Cech cohomology de la construcción, tenga en cuenta que hemos de mirar si las secciones locales de pegamento para formar global de las secciones. En un espacio afín, esto es realmente cierto. Pero, no es así en general. Nos gustaría hablar de la obstrucción mediante algebraica significa. Cuando las cosas se pegue bien, tenemos una secuencia exacta. En álgebra homológica, la cuestión de la exacta secuencias de romper bajo un functor es dirigida por la maquinaria de "derivados functor".

Por lo $H^1$ y la mayor cohomology grupos son en un sentido de la obstrucción a las secciones locales de parches de seguridad de forma global secciones. Desde $H^0$ se comporta bien en afín espacios, en un sentido, las medidas de la falta de affineness también. Captura de la geometría al ver cómo los afín piezas pegamento juntos para formar una variedad proyectiva, por ejemplo. Las dimensiones en las que la geometría es interesante que puede ser visto por lo que la dimensión de la derivada de functors son triviales.

Este es mi personal punto de vista para ver cómo la geometría de los involucrados, basada en derivados de functors.

Answer 2

$H^1(V;\mathcal{F})$ es el espacio de paquetes de afín espacios modelados en $\mathcal{F}$. Un afín bundle $F$ modelado en $\mathcal{F}$ es una gavilla por primicia de los conjuntos de $\mathcal{F}$ actúa libremente como una gavilla de abelian grupos (es decir, hay un mapa de las poleas $F\times \mathcal{F}\to F$ que satisface la costumbre asociatividad), y en una lo suficientemente pequeño barrio de cualquier punto, esta acción es regular (es decir, el mapa de acción en algún momento le da un bijection). Usted debe pensar en esta como una gavilla donde se puede tomar diferencias de secciones y obtener una sección de $\mathcal{F}$.

Esto coincide con lo que Anweshi dijo de la siguiente manera: dada una cosa, usted puede intentar la construcción de un isomorfismo a $\mathcal{F}$. Esto significa tomar una tapa abierta, y seleccionar una sección sobre cada subconjunto abierto y declarando que ser 0. La Cech 1-cochain que se obtiene es la diferencia entre estas dos secciones en cualquier superposición, y si un isomorfismo existe, la diferencia entre el cero real de la sección y el candidato que escogieron es la Cech 0-cadena cuyo límite de su 1-cochain es.

Otra forma de decir esto es que un Cech 1-ciclo es exactamente el mismo tipo de datos como la transición de las funciones con valores en su gavilla, así que si tienes algo que su gavilla actos (de nuevo, como un grupo abelian), entonces usted puede utilizar estas transición de las funciones para construir un nuevo gavilla; una homología entre la a 1-ciclos (es decir, un 0-ciclo cuyo límite es su diferencia) es exactamente la misma cosa como un isomorfismo entre dos de estos.

Voy a notar que no hay nada especial acerca de la línea de paquetes; esto funciona para cualquier gavilla de grupos (incluso nonabelian). Por ejemplo, si usted toma la gavilla de localmente constante de funciones en un grupo, usted va a clasificar a los sistemas locales de ese grupo. Si usted toma funciones continuas en un grupo, usted conseguirá el director de paquetes para ese grupo. Si usted toma la gavilla $\mathrm{Aut}(\mathcal{O}_V^{\oplus n})$, obtendrá el rango de $n$ localmente libre de las poleas. Un famoso ejemplo de esto es que la línea de los paquetes son clasificados por $H^1(V;\mathcal{O}_V^*)$.