No isomorfos estructuras algebraicas tales que cada surjects homomorphically en el otro

Question

La parte superior de mi cabeza, no puedo pensar en ninguna estructuras algebraicas $X$ $Y$ de manera tal que cada surjects homomorphically en el otro, sin embargo, $X$ $Y$ son no isomorfos. ¿Cuáles son algunos ejemplos de este tipo de cosas?

Answer 1

Tomar dos abelian grupos $X=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\prod\limits_{i=0}^\infty \mathbb{Z}$$Y=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\prod\limits_{i=0}^\infty \mathbb{Z}$. Creo que satisfacen la propiedad requerida.

Las proyecciones son las más simples, con el componente de torsión va a $0$, la primera $\mathbb{Z}$-componente de los proyectos en el primer componente de torsión.

Answer 2

De acuerdo a Tom Leinster, la respuesta a esta pregunta en Matemáticas de Desbordamiento, es un resultado de A. L. S. Esquina que existe un grupo Abelian $A$ isomorfo a$A^3$, pero no a $A^2$. Por supuesto, esto significa que $A$ $A^2$ son homomórfica imágenes de cada uno de los otros sin ser isomorfos.

Answer 3

Encontrar dos compacto Hausdorff espacios de $X, Y$ que insertar en cada uno de los otros pero que no son homeomórficos, por ejemplo,$[0, 1]$$[0, 1] \cup [2, 3]$. Incrustaciones $X \to Y$ compacto de Hausdorff espacios inducir surjections $C(Y) \to C(X)$ C*-álgebras de continuo de valores complejos de funciones (por extensión de Tietze) y por Gelfand-Naimark obtener un contraejemplo, a priori en la C*-álgebras pero en realidad en $\mathbb{C}$-álgebras (usando el hecho de que la norma en una C*-álgebra está determinado por su estructura de álgebra).