¿Cómo se puede evaluar la forma cerrada para esta integral
$$\int_{0}^{\pi}\sin(x)\ln^n\left(k\cos\left({x\over 2}\right)\right)\mathrm dx=F(n,k)\color{red}?\tag1$$
Donde $n\ge0$ $k>0$
Dado que el primer par de valores de $F(n,k)$ son: $$F(0,k)=2$$
$$F(1,k)=2\ln(k)-1$$
$$F(2,k)=2\ln^2(k)-2\ln(k)+1$$
$$F(3,k)=2\ln^3(k)-3\ln^2(k)+3\ln(k)-{3\over 2}$$
$$F(4,k)=2\ln^4(k)-4\ln^3(k)+6\ln^2(k)-6\ln(k)+3$$
Puede tomar la forma cerrada de:
$$F(n,k)=\sum_{j=0}^{n}(-1)^ja_j\ln^j(k)$$
$u={x\over 2}\implies 2du=dx$
$$2\int_{0}^{\pi/2}\sin(2u)\ln^n(k\cos(u))\mathrm du\tag2$$
$v=k\cos(u)\implies du=-{dv\over k\sin(u)}$
$${4\over k^2}\int_{0}^{k}v\ln^n(v)\mathrm dv\tag3$$
$$I_n=\int v\ln^n(v)\mathrm dv={v^2\over 2}\ln^n(v)-{n\over 2}\int v\ln^{n-1}(v)\mathrm dv\tag4$$
$$I_n={v^2\over 2}\ln^n(v)-{n\over 2}I_{n-1}\tag5$$