Mental para la multiplicación de dos números de un dígito

Question

No es una forma común de mentalmente haciendo cuadrados de dos dígitos de los números hasta 19*. Esta es la forma en que funciona (ejemplo para el cálculo de $13^2 = 13*13 = xyz$):

1. El dígito de las unidades es el dígito de las unidades de los dos números (3) multiplica -> $13^2 =xy9$

2. El dígito de las decenas es el dígito de las unidades sumadas (3+3 para el ejemplo) -> $13^2 = x69$

3. Los cientos dígito de las decenas dígito multiplicado (1*1) -> $13^2 = 169$

Ahora, puede haber cierta confusión con la realización de más. Por lo tanto, estoy haciendo otro ejemplo de $15^2 = 15*15=xyz$:

1. $z = 5*5 = 25$ , pero el z sólo puede ser uno de los dígitos de largo, de modo que se agrega a la calculada y (así como lo hacemos en regular la multiplicación). Por lo $z=5$

2. $y = 5+5 = 10+2 = 12$ (el 2 es el paso anterior). De nuevo, y sólo puede ser uno de los dígitos de largo, por lo que el 1 se realiza a través de e $y=2$.

3. $x=1*1=1+1 = 2$.

$15^2 = 15*15 = xyz = 225$

Así, pensé, ¿por qué no puedo usar este método para hacer también la multiplicación de dos números de un dígito. He probado con números menores que 20, y funcionó. Aquí hay otro ejemplo de $13*15 = xyz$

1. $z = 3*5 = 15$ , pero el 1 se realiza a través de lo $z=5$

2. $y = 3+5 = 8+1 = 9$

3. $x=1*1 = 1$

$15*13 = xyz = 195$

Ahora, luego lo intentó con un número menor de 20 y uno de entre 20 y 30. He aquí un ejemplo práctico (probablemente soy abrumadora chicos con los ejemplos, pero este ejemplo es importante!) de $25*13 = xyz$:

1. $z=5*3 = 15$ , pero el 1 se realiza a través de lo $z=5$

2. $y=5+3 = 8+1 = 9$

3. $x = 2*1 = 2$

Por eso, $25*13 = xyz = 295$. Pero, el resultado real es de 325! Está desactivado por 30. ¿Qué está pasando? Después de hacer esto varias veces, me di cuenta de que mi cálculo es siempre apagado por 10 veces el dígito de las unidades de menos de 20 número. Por lo tanto, necesita sumar a esa cantidad el resultado. Así, dado que el dígito de las unidades de menos de 20 número es 3, se multiplica por 10, lo que le da 30 y añadir el resultado, que fue 295. Esto le da la respuesta correcta de 325.

He intentado utilizar este método con un número menor de 40 años, pero mayor de 30 y otro de menos de 30 y mayores de 20 (por ejemplo, haciendo $35*21$) y no funcionó. Yo no podía entender por qué factor fue desactivado.

Luego he intentado con un número menor de 40 años, pero mayor de 30 menos de 20 y mayor de 10, y el resultado fue apagado por 20 veces el dígito de las unidades del número menos de 30 y mayores de 20. Por ejemplo, para $35*14$, me sale 410. pero el resultado real es de $410+(20*4)=490$ que es la respuesta correcta.

Por lo tanto, he creado una fórmula para multiplicar $ab*1d$

1. $z=b*d$

2. $y=b+d$

3. $x=a*1=a$

4. $ab*1d=xyz+(d*10*(a-1))$

Pregunta

Así que mi pregunta principal es ¿por qué este método de trabajo y cómo? ¿Por qué tengo que agregar el factor de $(d*10*(a-1))$? ¿Cómo puedo extender este método para que funcione para todos los números de dos dígitos?

_{*De hecho, me descubrió de forma independiente este método (aunque, obviamente, no ser el primero en hacerlo) en la cama cuando se trata de encontrar todos los números que son decimal concatenación de plazas}

Answer 1

Todo lo que escribí acerca de la identidad $$(10 a + b)(10 c + d) = 100 ac + 10 (bc + ad) + bd .$$

Si $a=c=1$, que es el mismo que pedir que ambos factores tienen dos dígitos y no exceder de 20, tenemos muchos semplifications:

$$ (10 + b)(10 + d) = 100 + 10 (b+d) + bd. $$

Por lo tanto, tenemos $x=1, y=b+d$$z=bd$, como se dijo (recordando a llevar más si es necesario).

Si $c=1$, que es el caso de $ab \cdot 1d$ en su notación, tenemos

$$ (10 a + b)(10 +d) = 100a + 10 (b + ad) +bd. $$

Ahora, su algoritmo dice

$$ y = b+d + d(a-1) $$

(ya que este es el significado de la adición de $10 \cdot d(a-1)$), y esta realidad resulta ser $b + ad$, según se requiera.