¿Por qué es $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{8x} = \frac{1}{4}$

Question

Si $\lim_{x \to 0} \sin(2x) = 0$$\lim_{x \to 0} 8x = 0$, entonces no es $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{8x} = \frac{0}{0}$?

Answer 1

Uno muy común límite es: $$\lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}u=1.$$ Usted puede utilizar aquí señalando que: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{8x} =\lim_{x \to 0} \dfrac14\frac{\sin(2x)}{(2x)} = \ldots$$

Answer 2

Dado que el $f(0) = g(0) = 0$.

$$ \begin{align} \\ \lim_{\delta \rightarrow 0} \dfrac{f(\delta)}{g(\delta)} & = \lim_{\delta \rightarrow 0} \dfrac{f(\delta) - f(0)}{g(\delta) - g(0)} \\ & = \lim_{\delta \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{f(0 + \delta) - f(0)}{\delta}}{\dfrac{g(0 + \delta) - g(0)}{\delta}} \\ & = \lim_{\gamma \rightarrow 0} \left( \lim_{\delta \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{f(\gamma + \delta) - f(\gamma)}{\delta}}{\dfrac{g(\gamma + \delta) - g(\gamma)}{\delta}}\right) \\ &= \lim_{\gamma \rightarrow 0} \dfrac{f'(\gamma)}{g'(\gamma)} \end{align}$$

Esto se llama la regla de L'Hospital.

Así que cuando usted tiene un aparentemente indeterminado límite de forma que se parece a $\dfrac{0}{0}$, usted puede tomar la derivada del numerador y el denominador sin cambiar el límite.

Así:

$$\lim_{\delta \rightarrow 0} \dfrac{\sin 2\delta}{8\delta} = \lim_{\delta \rightarrow 0} \dfrac{2 \cos 2\delta}{8} = \dfrac14$$

Answer 3

Usted debería haber demostrado en su clase de Cálculo que

$$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} = 1\text{.}$$ Usted no puede cambiar la parte que está dentro de la $\sin$ función, por lo que puede usar el hecho de que $$\lim\limits_{2x \to 0}\dfrac{\sin(2x)}{2x} = 1\text{.}$$ Pero si $2x \to 0$,$x \to 0$. Entonces, en otras palabras, lo que ahora sabemos es que $$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin(2x)}{2x} = 1\text{.}$$ Para obtener lo que se desea, se multiplican ambos lados de esta igualdad por $\dfrac{1}{4}$. $$\begin{align}\dfrac{1}{4}\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin(2x)}{2x} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin(2x)}{8x} = \dfrac{1}{4}\text{.}\end{align}$$ Desde mi experiencia en un TA para un curso de Cálculo I, prefiero este método más general, ya que puede ser utilizado para encontrar aparentemente diferentes límites (para alguien nuevo en el material), tales como $$\lim\limits_{x \to 3}\dfrac{\sin(x-3)}{x-3}$$ como un ejemplo rápido por la parte superior de mi cabeza.