Qué $\sum_{n=1}^\infty \left(e^{\frac{1}{n}} - 1\right)$ convergen?

Question

Evaluar $\sum_{n=1}^\infty \left(e^{\frac{1}{n}} - 1\right)$

$ \lim e^{\frac{1}{n}} = 1$

$\sum_{n=1}^\infty \left(e^{\frac{1}{n}} - 1\right) > \sum_{n=1}^\infty(-1) = -\infty$

No estoy seguro de cómo resolverlo. Traté de dos no de convergencia de formas. ¿qué hacer u chicos piensan acerca de esto?

Answer 1

Desde $e^x\geq 1+x$ tenemos $e^{1/n}-1\geq 1/n$ y, por tanto, la suma diverge por la prueba de comparación.

Answer 2

Su idea de utilizar una comparación es buena, sin embargo, la comparación de $$e^{\frac{1}n}-1>-1$$ no es particularmente útil, ya que la suma de $-1$ diverge a $-\infty$, por lo que la comparación en realidad no nos dice nada. Es más útil la comparación sería $$e^{\frac{1}n}-1>\frac{1}n$$ desde $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots$ e si $x$ es positivo, esto es sólo $1+x+\text{positive terms}$$e^x>1+x$.

En general, el aviso de que $f(x)=e^x-1$ es una función que ha $f(0)=0$$f'(0)\neq 0$. Uno puede usar los límites proporcionados por la derivada para demostrar que $\sum_{i=0}^{\infty}f(a_i)$ converge absolutamente exactamente al $\sum_{i=0}^{\infty}a_i$ converge absolutamente.

Answer 3

En ESTA RESPUESTA, me mostró utilizando el estándar, no de cálculo basado en las herramientas que la función exponencial satisface la desigualdad

$$e^{x}\ge 1+x$$

Por lo tanto, tenemos con $x=1/n$

$$e^{1/n}-1\ge \frac1n$$

Desde que la serie armónica, $\sum_{n=1}^\infty \frac1n$, diverge, entonces la Prueba de Comparación, la serie de interés diverge.