Resultados diferentes a la hora de integrar 1/(x^2-9) con herramientas informáticas

Question

Para la comprobación de mis cálculos, generalmente se usa Wolfram Alpha o una herramienta similar. Hoy en día, quería comprobar la siguiente integral:

$$\int {\frac{1}{{9 - {x^2}}}} dx$$

Desde mis cálculos, el uso parcial de la fracción de descomposición, que terminó con la siguiente respuesta:

$$\int {\frac{1}{{9 - {x^2}}}} {\text{ }}dx = \frac{1}{6}\left( {\ln (x + 3) - \ln (x - 3)} \right) + C$$

Este es también el resultado devuelto cuando el uso de la calculadora en http://www.integral-calculator.com/

El uso de Wolfram Alpha, yo sin embargo tengo algo ligeramente diferente:

$$\int {\frac{1}{{9 - {x^2}}}} {\text{ }}dx = \frac{1}{6}\left( {\ln (x + 3) - \ln (3 - x)} \right) + C$$

Utilizando el "paso a paso de la solución", WA usa un trignometric función hiperbólica para llegar a la respuesta:

$$\int {\frac{1}{{9 - {x^2}}}} {\text{ dx = }}\frac{1}{3}{\tanh ^{ - 1}}(\frac{x}{3}) + C = \frac{1}{6}\left( {\ln (x + 3) - \ln (3 - x)} \right) + C$$

El uso de Geogebra da el siguiente resultado, que es idéntico a mi propio resultado, excepto en el uso de valores absolutos de las funciones logarítmicas, ampliando de esta manera el dominio para valores de x menores que 3 :

$$\int {\frac{1}{{9 - {x^2}}}} {\text{ }}dx = \frac{1}{6}\ln (\left| {x + 3} \right|) - \frac{1}{6}\ln (\left| {x - 3} \right|)$$

Por último, mediante el Wolfram Mathematica en Línea Integrador da lo siguiente:

$$\int {\frac{1}{{9 - {x^2}}}} {\text{ }}dx = \frac{1}{6}\left( {\ln ( - x - 3) - \ln (x - 3)} \right)$$

El uso de Geogebra para graficar los gráficos de las distintas variaciones de la anterior, observo lo siguiente:

• La primera expresión (mi resultado original) es definido por $x \geq3$. El valor tiende a infinito cuando x va hacia 3.

• La expresión devuelta por Geogebra está definida para todos los valores de x, excepto para x=3 y x= -3. El valor va a positivo y negativo infinito en estos puntos, respectivamente.

• La expresión devuelta por Wolfram Alpha está definida para valores entre x=3 y x=-3. El valor va a positivo y negativo infinito en estos puntos, respectivamente.

• Geogebra se niega a trazar la gráfica de la expresión devuelta por Wolfram Mathematia en Línea Integrador, al parecer porque logarítmica plazo es indefinido cuando el otro no está.

¿Qué está pasando aquí? Si todas las expresiones anteriores son equivalentes (aunque a mí, que parece ser que no), hay uno que es más razonable?

Answer 1

Note que todas estas soluciones varían en formas muy específicas que son "isomorfo" en virtud de la diferenciación bajo el signo integral. Por ejemplo, el Alfa y en Línea integrador de soluciones son múltiplos escalares de los argumentos en virtud de la composición de funciones: $\frac{1}{6}\left( {\ln (x + 3) - \ln (3 - x)} \right) + C$= $\frac{1}{6}\left( {\ln \frac{(x + 3)}{(3 - x)}} \right) + C$=$\frac{1}{6}\left( {\ln \frac{-1(-x - 3)}{(x - 3)}} \right) + C$

Mucho más significativamente,sin embargo,ya que evalúa la integral como una indefinida integral, a la izquierda un número infinito de posibles opciones para el dominio de definición y que es realmente importante en la definición de los elegidos de la forma cerrada de la solución. Mientras que todas estas formas son equivalentes como antiderivatives de las funciones originales, todos ellos producen muy diferentes de las integrales en los diferentes dominios de la integración.

Si ejecuta todas estas integrales de nuevo en un determinado dominio elegido, creo que usted encontrará que todos están de acuerdo en si resueltos en forma cerrada. Intente.

Answer 2

La integral de la expresión que define la función del registro es

$$\log x=\int_1^x \frac{dt}{t}$$

para $x>0$. $\,$Obvioulsy, para $x<0$ podemos escribir las formas equivalentes

$$\begin{align} \log (-x)&=\int_1^{-x} \frac{dt}{t}\\\\ &=\int_{-1}^{x} \frac{dt}{t}\\\\ &=-\int_{x}^{-1} \frac{dt}{t} \end{align}$$

Como se ha señalado por Mathemagician1234, uno debe considerar cuidadosamente el dominio de integración al expresar la correcta anti-derivado de la $\frac{1}{x}$. Observe que tanto $x>0$ $x<0$ hemos

$$\log |x| = \int_1^{|x|} \frac{dt}{t}$$

Con ese fin, tal vez el "mejor" antiderivada para $\frac{1}{9-x^2}$ es

$$\begin{align} \int \frac{1}{9-x^2} dx &=\frac16 \int \left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}\right)dx\\\\ &=\frac16\,\log\left(\frac{|x+3|}{|x-3|}\right)+C\\\\ &=\frac16 \begin{cases} \log\left(\frac{x+3}{x-3}\right)+C, & \text{if %#%#%} \\\\ \log\left(\frac{x+3}{3-x}\right)+C, & \text{if %#%#%} \\\\ \log\left(\frac{-(x+3)}{x-3}\right)+C, & \text{if %#%#%} \end{casos} \end{align}$$

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Aquí es uno más simple ejemplo. Supongamos que tenemos la integral de la $x>3$ donde $|x|<3$. Podemos dividir esta en las siguientes

$$\begin{align} \int_{-5}^x&=\int_{-5}^{-1} \frac{dt}{t}+\int_{-1}^{x} \frac{dt}{t}\\ &=-\log(-(-5))+\log(-x)\\ &=\log|x|-\log|-5| \end{align}$$