Producto de las esferas incrusta en el espacio Euclidiano de 1 dimensión superior

Question

Este problema fue dada a mí por un amigo:

Demostrar que $\Pi_{i=1}^m \mathbb{S}^{n_i}$ puede ser fácilmente incorporado en un espacio Euclídeo de dimensión $1+\sum_{i=1}^m n_i$.

La solución es al parecer bastante simple, pero estoy teniendo problemas para conseguir un comienzo en este problema. Alguna ayuda?

Answer 1

• Nota primero que $\mathbb{R}\times\mathbb{S}^n$ sin problemas incrusta en $\mathbb{R}^{n+1}$ por cada $n$, a través de $(t,\textbf{p})\mapsto e^t\textbf{p}$.
• Tomando el producto Cartesiano con $\mathbb{R}^{m-1}$, nos encontramos con que $\mathbb{R}^m\times\mathbb{S}^n$ sin problemas incrusta en $\mathbb{R}^{m}\times\mathbb{R}^n$ por cada $m$$n$.
• Por inducción, se deduce que el $\mathbb{R}\times\prod_{i=1}^m \mathbb{S}^{n_i}$ sin problemas incrusta en un espacio Euclídeo de dimensión $1+\sum_{i=1}^m n_i$.

El deseado declaración de la siguiente.

Answer 2

La prueba se realiza por inducción en $m.$

$m=1$ es trivial por la elección de coordenadas $(x^{(1)}_0,x^{(1)}_1,...,x^{(1)}_{n_1})$ donde $\sum_{j=0}^{n_1} (x_j^{(1)})^2=1$, así que vamos a $m=2,$, de manera similar $S^{n_1} \times S^{n_2}$ está incrustado en $\mathbb{R}^{n_1+n_2+2}$ que también se encuentra en la hipersuperficie $H$ con la ecuación de $\sum_{j=0}^{n_1} (x_j^{(1)})^2+\sum_{j=0}^{n_2} (x_j^{(2)})^2=2.$, De hecho, $H$ es diffeomorphic a $S^{n_1+n_2+1}.$ Ahora, la incrustación falta al menos un punto, por ejemplo, $p=(0,...,0,1,1) \in H,$ así que por la proyección estereográfica $S^{n_1+n_2+1} \setminus \{p\}$ es diffeomorphic a $\mathbb{R}^{n_1+n_2+1}.$

Supongamos que la afirmación se sostiene para $<m,$ $(S^{n_1}\times...\times S^{n_{m-1}}) \times S^{n_m}$ está incrustado diffeomorphically en $\mathbb{R}^{n_1+...+n_{m-1}+1} \times \mathbb{R}^{n_m+1}\cong \mathbb{R}^{n_1+...+n_{m}+2}$ por lo tanto siguiendo el mismo argumento se puede reducir la dimensión de $1,$ por lo que el resultado.