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¿Este "show" que la base de fourier es más "potente" que el polinomio?

Estoy seguro de que la respuesta sea negativa, ambos son llamados "base" después de todo, pero no es una "paradoja" de que yo no puedo envolver mi cabeza alrededor.

Podemos escribir la función delta de dirac en la base de fourier como \delta(x) = \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos nx sin embargo, desde la función delta no es una "función" de por sí, parece que no puede tener un desarrollo en serie de taylor. ¿Significa esto que no puede ser expresado en el polinomio de base?

Supongo que hay 2 posibles respuestas a esta pregunta:

  1. Todavía puede ser expresado en el polinomio de base, sólo por los coeficientes que son diferentes de las presentadas por una serie de taylor
  2. Desde la delta de dirac no es una función, "base" de la teoría pierde su significado, y así que tiene sentido que sólo puede ser expresado por los pecados y las cosas. En este sentido, es la base de fourier "más poderoso/expresivo" que el polinomio de base (es decir, se puede también expresar las cosas como distribuciones)

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Matthew Scouten Puntos 2518

No es una serie de Taylor, pero también puede escribir la delta de Dirac como una suma (convergente en el sentido de las distribuciones en el intervalo de (-1,1)) de los polinomios de Chebyshev T_n(x):

\delta(x) = \frac{1}{\pi} + \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^\infty (-1)^k T_{2k}(x)

2voto

Drealmer Puntos 2284

Escribir una función, o una "generalizada de la función" (distribución? hiperfunción?) como una suma infinita de funciones simples (rigurosamente, como contraposición a la forma heurística... aunque muchos físicos han hecho un gran uso de la física intuitiva heurística! E. g., Dirac!) es probablemente la mejor manera de hacer cuando/si uno tiene un adecuado (!) topología en un relevante espacio de funciones (o su doble, o su prórroga, o de ambos a la vez, más útil, como en el caso de distribuciones, templado, distribuciones, etc.)

Algo irónico, el espacio vectorial de polinomios sobre un intervalo cerrado es un poco torpe, en la medida en que los polinomios no son funciones propias de cualquier conveniente auto-adjoint (acotado o no) del operador. Que es, a pesar de su atractivo intuitivo, que no están tan bien adaptados a situaciones más sutiles como, por ejemplo, la serie de Fourier de diversos tipos (donde exponenciales o de senos y cosenos son, de hecho, funciones propias de Laplacians...)

Un ejemplo relacionado donde las cosas un poco mejor, es el caso de la "oscilador armónico cuántico" -\Delta+x^2\mathbb R, lo que hace tener una base ortonormales de funciones propias en L^2(\mathbb R), y cuyo más sutil teoría no permite la expresión de templado de las distribuciones de sumas infinitas de términos que son constantes los múltiplos de nésimo polinomio de Hermite horarios adecuados de Gauss.

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