Extraño $n$-dimensiones volumen integral

Question

La siguiente integral surgió otra pregunta:

$$ \int\limits_{0}^{x}\int\limits_{0}^{2x-x_1}\ldots\int\limits_{0}^{nx-x_1-x_2-\cdots-x_{n-1}}\mathrm dx_{n} \ldots \mathrm dx_1 $$

donde $x>0$ es un número real y $n\in\mathbb{N}$. ¿Cómo se debe proceder? Tratando de integración sucesiva consigue sucio rápidamente.

Answer 1

Esto se relaciona con algo que se llama el aparcamiento de la función. Yo diría que la integral iterada es siempre igual a

$$ \int\limits_{0}^{x}\int\limits_{0}^{2x-x_1}\ldots\int\limits_{0}^{nx-x_1-x_2-\cdots-x_{n-1}}\mathrm dx_{n} \ldots \mathrm dx_1 = \frac{(n+1)^{n-1}}{n!}.x^n$$

Goodluck