No comas de la categoría functor tiene un adjunto?

Question

Deje $A\xrightarrow{S}C\xleftarrow{T}B$ ser un diagrama de categorías; la definición clásica de la coma categoría $(S\downarrow T)$ conduce a la definición de un functor $$ (S\downarrow-)\colon [B,C]\a\bf Gato $$ el envío de $T\mapsto (S\downarrow T)$.

Ahora me pregunto si este functor admite un adjunto a la izquierda: ¿conmuta con límites?

Answer 1

En general, no. He aquí un ejemplo:

• Deje $A = B = \{\ast\}$, la categoría con un objeto y una de morfismos (identidad de objeto), $C = \mathbb Z/2$, la categoría con un objeto ($\ast'$) y $\hom(\ast', \ast') = \mathbb Z/2$.
• Compruebe que $[\{\ast\}, \mathbb Z/2] = \mathbb Z/2$ (no hay una única functor que envía a $\ast \mapsto \ast'$ y una transformación natural de este functor a sí mismo corresponde a un elemento de $\mathbb Z/2$ tomando la componente de a $\ast$).
• Deje $S\colon A \to C$ $T\colon B \to C$ ser la única functor. Compruebe que $S \downarrow T = \mathrm{Set}(\mathbb Z/2)$, la categoría con objetos de $\mathbb Z/2$ y sólo la identidad de morfismos.

Ahora si $F\colon\mathbf{Cat} \to [B, C] = \mathbb Z/2$ es una izquierda adjunto que significa que por cada categoría $X$ y el objeto $t \in C$ hay un bijection $$\mathbb Z/2 = \hom_{\mathbb Z/2}(F(X), T) \simeq \hom_\mathbf{Cat}(X, \mathrm{Set}(\mathbb Z/2))$$ Pero si elegimos $X = \mathrm{Set}(\{1, 2\})$ $\hom_\mathbf{Cat}(X, \mathrm{Set}(\mathbb Z/2))$ es sólo el conjunto de mapas de $\{1, 2\} \to \mathbb Z/2$, y $4$ no $2$.