Soluciones enteras de $x^y-z^3=2$

Question

¿Es una pregunta abierta para resolver $x^y-z^3=2$ en números enteros (tanto positivos como nulos y negativos)? Si no, ¿qué tipo de métodos requiere la solución?

Answer 1

Si $y$ es uniforme, las únicas soluciones a $-t^3 + u^2 = 2$ son $(-1,\pm 1)$

E_+00002: r = 1   t = 1   #III =  1
          E(Q) = <(-1, 1)>
          R =   0.7545769032
           2 integral points
            1. (-1, 1) = 1 * (-1, 1)
            2. (-1, -1) = -(-1, 1)

http://tnt.math.se.tmu.ac.jp/simath/MORDELL/MORDELL+

Las cosas no cambian mucho si se permite $-2,$ todo lo que obtienes es $27 - 25 = 2.$

E_-00002: r = 1   t = 1   #III =  1
          E(Q) = <(3, 5)>
          R =   1.3495768357
           2 integral points
            1. (3, 5) = 1 * (3, 5)
            2. (3, -5) = -(3, 5)

http://tnt.math.se.tmu.ac.jp/simath/MORDELL/MORDELL-

También, $y$ no puede ser divisible por $3,$ ya que puedes factorizar la diferencia de cubos y obtener un número finito de cosas a descartar. Así, tienes $y=5,7,11,13,\ldots$

Mi opinión es que hay un libro en alguna parte sobre la conjetura de Catalán, ahora demostrada, con un capítulo sobre el cambio de la diferencia entre los poderes de $\pm 1$ a $\pm 2, \pm 3,$ y algunos otros números pequeños.

Sea cual sea el contenido exacto, existe un libro llamado Conjetura de Catalán, de René Schoof, http://oskicat.berkeley.edu/record=b16478355~S1