Producto de los dígitos de un número de 7 dígitos es $2^43^4$

Question

Encontrar el número de siete dígitos de números cuyo producto de los dígitos es $2^43^4$.

Un método es hacer una lista de todos los posibles conjuntos de siete dígitos que dar a este producto y, a continuación, encontrar el número de permutaciones para cada caso. Pero hay también muchos casos de esa manera.

Hay un método más corto?

Answer 1

Dividido en los casos, dependiendo de cómo los dos se distribuyen:

1. 3-1-0-0-0-0-0, que se puede hacer en $42$ diferentes maneras. Para cada una de ellas, ¿de cuántas maneras distintas se puede distribuir el tres?
2. 2-2-0-0-0-0-0, que se puede hacer en $21$ maneras. La misma pregunta.
3. 2-1-1-0-0-0-0, un total de cinco maneras. Creo que usted consigue la idea.
4. Por último, hay $35$ formas de distribuir los dos como 1-1-1-1-0-0-0.

Answer 2

Esto es un poco de una paloma problema del agujero.

Hay 7 cubos, y usted debe llenar con los factores 2, 3.

Limitaciones:

1. todos los factores 2 y 3 se utilizan
2. no más de 3 factores de 2 en un cubo
3. no más de 2 factores 3 en un cubo
4. si 1 factor 3 en un balde, no más de 1 factor 2 en el cubo

Este debe ser contables

Answer 3

Me propongo contar estos números con respecto al número de 6 dígitos.

Tenemos cinco casos: CERO, UNO, DOS, TRES, CUATRO. En las siguientes fórmulas ponemos el $6$s, entonces los poderes de $2$ (i. e. $2,4,8$) y, finalmente, los poderes de la $3$ (i. e. $3,9$).

Si hay CERO dígitos 6 entonces tenemos $$ \binom{7}{4}\left[\binom{3}{4}+3\binom{3}{3}+\binom{3}{2}\right] +3\binom{7}{3}\left[\binom{4}{4}+3\binom{4}{3}+\binom{4}{2}\right] \\+ 3\binom{7}{2}\left[\binom{5}{4}+3\binom{5}{3}+\binom{5}{2}\right] =5040.$$

Si hay UN dígito 6 entonces tenemos $$\binom{7}{1} \left[ \binom{6}{3}\left[\binom{3}{3}+2\binom{3}{2}\right] +2\binom{6}{2}\left[\binom{4}{3}+2\binom{4}{2}\right]+ \binom{6}{1}\left[\binom{5}{3}+2\binom{5}{2}\right] \right] =5600.$$

Si hay DOS dígitos 6 entonces tenemos $$\binom{7}{2}\left[ \binom{5}{2}\left[\binom{3}{2}+\binom{3}{1}\right] +\binom{5}{1}\left[\binom{4}{2}+\binom{4}{1}\right] \right]=2310.$$

Si hay TRES dígitos 6 entonces tenemos $$\binom{7}{3}\binom{4}{1}\binom{3}{1}=420.$$

Si hay CUATRO dígitos 6 entonces tenemos $$\binom{7}{4}=35.$$

Por último, el número total es de $$5040+ 5600+2310+420+35=13405.$$