La fórmula para la varianza de un proceso de renovación

Question

Deje $N(t)$ ser un proceso de renovación, con una secuencia de IID entre los tiempos de llegada de $X_{1}, X_{2}, \dots$ tener finito segundo momento: $EX_{i}^{2} < \infty$.

¿Cómo puedo demostrar que $$\mathrm{Var}N(t)= 2 \int^{t}_{0} m(t-s) \cdot m'(s)ds + m(t) - m(t)^{2}$$

donde $m(t) = E[N(t)]$ y puede ser escrito $m(t) = F(t) + \int_{0}^{t} m(t-x)f(x)dx$ donde $f$ es la densidad de la inter-tiempos de llegada y $F$ es el CDF.

Me gustaría saber cómo funciona todo esto ya que soy débil en la computación. He intentado usar la costumbre de identidad de la varianza, pero no sabía si eso iba a llevar a ninguna parte.

Answer 1

Yo no estaba en condiciones para obtener una prueba directa de la fórmula que han dado, de la siguiente prueba, por tanto, es algo indirecta. Se basa en la siguiente afirmación.

La reclamación. Dadas las funciones $H(t), \, f(t)$, la renovación de la ecuación de $g(t) = H(t) + \int_{0}^t g(t-x) f(x) \mathrm d x$ tiene una solución única.

De ahora en adelante voy a usar la notación normal para convolución $\phi*\psi(t) = \int_0^t \phi(t-x)\psi(x) \mathrm d x$, de modo de simplificar la notación. La ecuación de arriba, a continuación, se lee: $g = H + g*f$.

Mi prueba procede en dos pasos:

1. Derivar una renovación escriba la ecuación de la varianza.
2. Demostrar que es resuelto por el lado derecho de la fórmula que le dio.

Parte 1 en Lugar de trabajar con la varianza, voy a considerar $g(t) = \textbf{E}[N(t)^2]$. Exactamente como si estuviéramos derivada de la costumbre de renovación de la ecuación, nos condición en la primera hora del salto \begin{align*} g(t) & = \int_{0}^\infty \textbf{E}[N(t)^2 \, | \, X_1 = x] f(x) \mathrm d x \\ & = \int_0^t \textbf{E}[N(t)^2 \, | \, X_1 = x] f(x) \mathrm d x + \int_t^\infty 0 \mathrm \, d x \\ & = \int_0^t \textbf{E}[(1 + N(t-x) )^2] f(x) \mathrm d x \\ & = \int_0^t f(x)\Big(1 + 2 \textbf{E}[N(t-x)] + \textbf{E}[N(t-x)^2] \Big ) \mathrm d x \\ & = F(t) + 2(m * f)(t) + (g*f)(t). \end{align*} En particular, $g$ satisface una renovación tipo de ecuación con $H = F +2 m*f$.

Parte 2 de Acuerdo a la fórmula que le dio, queremos mostrar a $g(t) = 2(m*m')(t) + m(t)$, tenga en cuenta que este es exactamente el lado derecho de su fórmula, pero con el $m(t)^2$ plazo eliminado, ya que no estamos trabajando con la varianza. La sustitución de esta fórmula en el lado derecho de la renovación de la ecuación tenemos \begin{align} H + (2(m*m') + m)*f & = F + 2(m*f) +2(m*m')*f + m*f\\ & = (m - m*f) + 2(m*f) +2(m*m')*f + m*f\\ & = m + 2( m*f + m*m'*f), \end{align} donde en la segunda línea sustituimos en la renovación de la ecuación de $F = m - m*f$. Es remeains a continuación, mostrar \begin{align} m*f + m*m'*f =m*m'. \tag{1} \end{align} Pero, de nuevo utilizando la renovación de la ecuación, y su diferenciación \begin{align} m' = (F + m*f)' = f +m'*f, \end{align} que cuando se reorganizan es $$m'*f =m'-f $$ Sustituyendo en (1) \begin{align} m*f + m*m'*f & = m*f + m*(m' -f) \\ & =m*m', \end{align} como se requiere.