función delta de Dirac

Question

$\delta^{(1/2)}_\mu(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|k|^{1/2}e^{ikx}e^{-\mu|k|}dk$ que proporciona la mitad-delta de Dirac de distribución en el caso límite de $\mu\to0$.

Sé que la solución de $\delta^{(1/2)}_\mu=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|k|^{1/2}e^{ikx}e^{-\mu|k|}dk$$\sqrt{\frac{1}{4\pi}}(x^2+\mu^2)^{-3/4}\cos(\frac{3}{2}\tan^{-1}(\frac{x}{\mu}))$, pero apreciaría saber cómo la evaluación se lleva a cabo.

Puedo llegar a el punto de $\delta^{(1/2)}_\mu=2\int_0^{\infty}\cos(kx)e^{-\mu k}k^{1/2}dk$, pero más allá de aquí no tengo idea.

EDIT: Obvio que me perdí en la primera-es que esto está relacionado con la transformada de Laplace de $k^{1/2}\cos(k)$. La evaluación de este parece "sencillo", aunque sea increíblemente realista.

Answer 1

Como me dijo usted necesita algunos análisis complejo para mostrar que

$$\int_0^\infty t^{a-1} e^{-zt}dt = \Gamma(a) z^{-a}, \qquad \text{Re}(z) > 0,\ \text{Re}(a) > 0$$ La prueba es que para $\text{Re}(z) > 0$ LHS y RHS son analíticas en $z$, y para $z \in (0,\infty)$ son iguales (cambio de variable $u = zt$), por lo tanto, de continuación analítica (o por el teorema de identidad, o por la integral de Cauchy teorema) son iguales para todos los $\text{Re}(z) > 0$.

Entonces usted tiene (para $x \in \mathbb{R}$, $\mu > 0$) $$2\pi \delta^{(1/2)}_\mu(x) = \int_{-\infty}^\infty |k|^{1/2} e^{-\mu |k|} e^{i k x}dk = \int_0^\infty k^{1/2} (e^{-(\mu+ix) k}+e^{-(\mu-ix) k})dk$$ $$ = \Gamma(3/2) ((\mu+ix)^{-3/2}+(\mu-ix)^{-3/2}) = \Gamma(3/2)\, 2\,\text{Re}((\mu+ix)^{-3/2})$$ $$ = 2 \Gamma(3/2) \, |\mu+ix|^{-3/2} \cos(\text{arg}((\mu+ix)^{-3/2})) = \sqrt{\pi}\, (\mu^2+x^2)^{-3/4} \cos(\frac{3}{2}\arctan(x/\mu))$$

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Hay una trama de $\delta_\mu^{(1/2)}$$\mu = 1,0.7,0.5$ :