Tres círculos tienen el mismo radical eje?

Question

Tres círculos $\bigcirc O_1$, $\bigcirc O_2$, $\bigcirc O_3$, vamos $A$, $B$, $C$ tres puntos en $\bigcirc O_3$. Si tenemos $$ \frac{\operatorname{energía}(A, \bigcirc O_1)}{\operatorname{energía}(A, \bigcirc O_2)}= \frac{\operatorname{energía}(B, \bigcirc O_1)}{\operatorname{energía}(B,\bigcirc O_2)}= \frac{\operatorname{energía}(C, \bigcirc O_1)}{\operatorname{energía}(C, \bigcirc O_2 )}$$ (where $\operatorname{energía}(P, \bigcirc Q)$ denotes the power of point $P$ with respect to $\bigcirc Q$), podemos concluir que estos círculos tienen el mismo radical eje?

Answer 1

Voy a cambiar de notaciones para que sea más cómodo para mí.

Deje $\mathscr C_i$ ser el círculo centrado en $O_i$ radio $r_i$$1\le i\le 3$. Denotar por $P(X,\mathscr C)$ el poder de punto de $X$ a un círculo de $\mathscr C$. Deje $\alpha$ tal que $\alpha=\frac{P(X,\mathscr C_1)}{P(X,\mathscr C_2)}$$X\in\{A,B,C\}$.

---

Reclamo: Si $A,B,C$ son tres puntos distintos, entonces para cualquier $X\in\mathbb R^2$, tenemos $P(X,\mathscr C_1)=\alpha P(X,\mathscr C_2) + (1-\alpha) P(X,\mathscr C_3)$.

En particular, si $\alpha\notin\{0;1\}$ podemos deducir fácilmente que los tres círculos tienen el mismo radical de la línea. (Al $\alpha\in\{0;1\}$ sólo tenemos dos círculos, de modo que el resultado realmente aún se mantiene.)

---

Prueba: Para explotar el hecho de que $A,B,C$$\mathscr C_3$, nos re-expresar la potencia de un punto: \begin{align*} P(X,\mathscr C_i) ~=~ \|X-O_i\|^2-r_i^2 ~=~ \| X-O_3\|^2-2\langle X-O_3,\ O_i-O_3\rangle+P(O_3,\mathscr C_i) \end{align*} Al $X\in\{A,B,C\}$ adicionalmente, tenemos $\|X-O_3\|^2=r_3^2$ y $P(X,\mathscr C_1)=\alpha P(X,\mathscr C_2)$. El uso de la expresión anterior obtenemos $$(1-\alpha)r_3^2+P(O_3,\mathscr C_1)-\alpha P(O_3,\mathscr C_2) ~=~ 2\big\langle X-O_3,\ (O_1-O_3)-\alpha (O_2-O_3)\big\rangle$$ El lado izquierdo es independiente de $X$, esto implica que el lado derecho debe ser constante, independientemente de lo $X\in\{A,B,C\}$ recogemos. Debido a $\|X-O_3\|=r_3>0$, y suponiendo que las $A,B,C$ son distintos, esto implica $$O_1-O_3 ~=~ \alpha (O_2-O_3)$$ y $$P(O_3,\mathscr C_1) ~=~ \alpha P(O_3,\mathscr C_2) -(1-\alpha) r_3^2$$

Luego se puede volver a inyectar esas dos identidades en $P(Y,\mathscr C_1)$ por un arbitrario $Y\in\mathbb R^2$: \begin{align*} P(Y,\mathscr C_1) &= \|Y-O_3\|^2 -2\langle Y-O_3,\ O_1-O_3\rangle +P(O_3,\mathscr C_1) \\ &= \| Y-O_3 \|^2 -2\alpha\langle Y-O_3,\ O_2-O_3\rangle +\alpha P(O_3,\mathscr C_2) -(1-\alpha)r_3^2 \\ &= \alpha P(Y,\mathscr C_2) +(1-\alpha) P(Y,\mathscr C_3) \end{align*}