La compacidad de un conjunto de funciones

Question

Durante el almuerzo, alguien presentada este problema hoy en día:

Deje $a$ $b$ ser números reales y $F:\mathbb R\to\mathbb R$ una función continua.

Deje $K=\{u\in C^1([a,b],\mathbb R), u'=F\circ u\}$

Demostrar $K$ es compacto (con respecto a la sup de la norma)

Nadie en mi clase lo ha resuelto.

He pensado en la configuración de un operador $T$tal que $T:u\to u'-F\circ u$ y teniendo en cuenta sus puntos fijos, sino $T$ no es lineal.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Puedo dar un contraejemplo:

deje $F(x)=x$. Entonces $$\{ u \in C^1([0,1], \mathbb{R} ) : u'=u\} \supset \{ \lambda \exp : \lambda \in \mathbb{R} \}$$ no está delimitado, por lo que no es compacto.