Conjunto igual al producto cruz de dos de sus subconjuntos

Question

Me preguntaba, en ZFC, si un conjunto puede ser alguna vez igual al producto cruz de dos de sus subconjuntos. O, más en general, el producto cruzado de uno de sus subconjuntos con cualquier otro conjunto. (Excluyendo ejemplos triviales como $\phi=\phi \times \phi$ .)

Así, por ejemplo $\{a,b\}=\{a\} \times \mathbb{N}$ o $\mathbb{N}=\mathbb{Z} \times \{0,1\}$ son imposibles. Quiero escribir una prueba de que siempre es imposible.

Parece que esto se puede demostrar utilizando el Axioma de Fundación... ¿o alguien tiene un contraejemplo?

Answer 1

Defina el rango de un conjunto como el número de capas de llaves hasta su enterrado más profundo $\emptyset$ Así que $\operatorname{rank}(\emptyset)=0,$ $\operatorname{rank}(\{\emptyset\})=1,$ etc. Es un ordinal, y puede ser infinito, ya que por ejemplo $\operatorname{rank}(\omega)=\omega,\operatorname{rank}(\{\omega\})=\omega+1$ etc. El rango de un par ordenado (suponiendo que se utilice el método habitual Definición de Kuratowski ) es $2$ más que el rango máximo de sus componentes utilizando la suma ordinal. Tome uno de los miembros de su conjunto de rango mínimo. No puede ser el par ordenado de dos miembros del conjunto.

Answer 2

La respuesta de Ross muestra que no se puede tener un conjunto así si se utiliza la representación Kuratowski habitual de pares ordenados.

Por otra parte, puede utilizar La definición de "nivel de tipo" de Quine de pares ordenados. Con esta definición tenemos, $(\varnothing,\varnothing)=\varnothing$ y así $X=\{\varnothing\}$ satisface $X=X\times X$ .

De hecho, con los pares de Quine cualquier conjunto es un par ordenado, por lo que se pueden obtener infinidad de ejemplos definiendo $$ f(S) = S \cup (S\times S) \cup \{x\mid \exists y: (x,y)\in S \lor (y,x)\in S\} $$ Entonces, para cualquier conjunto $A$ , $X=\bigcup_{n\in\mathbb N} f^n(A)$ es una solución a $X=X\times X$ que contiene $A$ .