la invariancia de correlación lineal de transformación: $\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

Question

Este es en realidad uno de los problemas en Gujarati Básicos de Econometría 4 a edición (Q3.11) y dice que el coeficiente de correlación es invariante con respecto al cambio de origen y escala, que es $$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ where $un$,$b$,$c$,$$ d son constantes arbitrarias.

Pero mi pregunta principal es la siguiente: Deje $X$ $Y$ ser emparejado observaciones y supongamos $X$ $Y$ están positivamente correlacionados, es decir,$\text{corr}(X,Y)>0$. Sé que $\text{corr}(-X,Y)$ sería negativa basada en la intuición. Sin embargo, si tomamos $a=-1, b=0, c=1, d=0$, se deduce que el $$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$$ , lo cual no tiene sentido.

Agradecería si alguien puede señalar la brecha. Gracias.

Answer 1

Desde $$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$$ y $$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$$ la igualdad $$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ only holds when $un$ and $c$ are both positive or both negative, i.e. $ca>0$.