W. Rudin tiene el siguiente ejercicio, "para convencer al lector de que el poder de Lebesgue de integración".
Deje $0 \leq f_n \leq 1$ ser funciones continuas de$[0,1]$$\mathbb R$, que convergen pointwise a $0$. Demostrar que su integrales convergen a $0$, sin utilizar cualquier Lebesgue teoría.
Cómo hacer esto?
En mi opinión, la mejor solución está contenida en un documento por parte de Luxemburgo, Arzelà del teorema de convergencia dominada para la integral de Riemann, Americana de Matemáticas. Mensual 78 (1971), disponible aquí , pero no gratis.
Es muy agradable leer este artículo, y la prueba es esencialmente la primaria. Por favor no me pregunte de la copia en mi respuesta, ya que lleva un par de páginas :-)
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