Demostrar que el siguiente tiene $\int_1^\infty\frac{\ln x}{(x^3)}dx=-\int_0^1x\ln x\ dx$.

Question

Sin la evaluación de las integrales muestran que: $$\displaystyle\int_1^\infty\frac{\ln x}{(x^3)}dx=-\int_0^1x\ln x\ dx$$

Answer 1

El límite de inmediato sugerencias de $\displaystyle x=\frac1y,dx=-\frac{dy}{y^2}\implies \ln x=\ln\frac1y=\ln(y)^{-1}=-\ln y$

$$\int_1^\infty\frac{\ln x}{x^3}\ dx=\int_1^0 y^3\cdot(-\ln y)\cdot\left(-\frac{dy}{y^2}\right)=\cdots$$

Se puede llevar a casa desde aquí?