La probabilidad de que 25 personas no tienen el mismo cumpleaños

Question

Me imagino que sería algo como esto

$$\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{340}{365}$$

Pero eso es un montón de fracciones para entrar en una calculadora, aun así creo que esta es la respuesta correcta, pero me preguntaba si hay un acceso directo o algo? Tengo un casio CFX-9850GB.

Answer 1

Sí, podría escribir el numerador como $365! / (365 - 25)!$ donde $n!$ es la función factorial, y el denominador como $365^{25}$, por lo que su probabilidad es

$$365! / ((365-25)! \times 365^{25})$$

Usted podría tratar de entrar a este en Wolfram Alpha para obtener un resultado.

También, la expresión introducida es incorrecta. Tiene un total de 26 en términos de su producto, mientras que sólo desea 25. No te preocupes, este tipo de off-by-one de error es común incluso entre experimentados los matemáticos y científicos de la computación. Yo la hago todo el tiempo!

Answer 2

Creo que es

$$\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \cdots \times \frac{341}{365},$$

debido a $365-341+1=25$.

Llame a $P(n)$ la probabilidad de que $n$ de las personas no tienen el mismo cumpleaños. Está dada por $$\begin{eqnarray*} P(n) &=&\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \cdots \times \frac{% 365-n+1}{365} \\ &=&\frac{\prod_{k=2}^{n}\left( 366-k\right) }{365^{n-1}}=\frac{364!}{% 365^{n-1}\left( 365-n\right) !} \\ &=&\frac{\Gamma (365)}{365^{n-1}\Gamma (366-n)}. \end{eqnarray*}$$

Notación: El $\prod $ símbolo representa un producto

$$\prod_{k=2}^{25}\left( 336-k\right) =\left( 336-2\right) \left( 336-3\right) \left( 336-4\right)\times \cdots \times\left( 336-25\right) .$$

y $\Gamma (x)$ es la función gamma con la propiedad $\Gamma (n+1)=n!$.

Para $n=25$, tenemos $$\begin{eqnarray*} P(25) &=&\frac{\prod_{k=2}^{25}\left( 366-k\right) }{365^{25-1}}=\frac{364!}{% 365^{25-1}\left( 365-25\right) !}\approx 0.431\,3 \\ &=&\frac{\Gamma (365)}{365^{25-1}\Gamma (366-25)}\approx 0.431\,3 \end{eqnarray*}$$

Aquí está una parcela de $1-P(x)$ (número de miles de personas = número de personas $=x$)

Answer 3

Me parece recordar que una sorprendentemente buena aproximación de la probabilidad de $P_{25}$ se obtiene a partir de a$1-x\le\exp(-x)$$x=k/365$$k=1$$k=25$. Por lo tanto $$ P_{25}<\exp(-x_1-\cdots-x_{25})=\exp(-25\cdot26/(2\cdot365))<41.05\%. $$ Del mismo modo, si uno tiene que ir de$k=1$$k=24$, se obtiene $$ P_{24}<\exp(-24\cdot25/(2\cdot365))<43.96\%. $$ Uno puede incluso conseguir no tan crudo límites inferiores partir del hecho de que en un pequeño intervalo de $(0,z)$, la derivada de $u:x\mapsto1/(1-x)$ $u'(x)=1/(1-x)^2$ por lo tanto $u'\le cu$$c=1/(1-z)$, que los rendimientos de $u(x)\le u(0)\exp(cx)$, por lo tanto $1-x\ge \exp(-cx)$. Uno se $$ P_{24}>\exp(-24\cdot25/(2\cdot365\cdot(1-x_{24})))=\exp(-24\cdot25/(2\cdot341))>un 41,48\%, $$ y $$ P_{25}>\exp(-25\cdot26/(2\cdot340))>38.44\%. $$ En suma, para cada $1\le n<N$, $$ \exp\left(-\frac{n(n+1)}{2(N-n)}\right)<\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{k}N\right)<\exp\left(-\frac{n(n+1)}{2N}\right). $$ En la paradoja de Cumpleaños contexto ($N=365$), lo curioso es que el límite superior de $n=22$ $<50\%$ y el límite inferior de $n=21$ $>50\%$ por lo tanto, estos crudo aproximaciones son suficientes para estar seguro de que $P_{22}<50\%<P_{21}$, y que el llamado número mágico es $22+1=23$.

Answer 4

Nope, no hay atajos. El primero es 1, y todos los denominadores son iguales (así que no siga dividiendo por 365). Y en el gran esquema de las cosas, estar agradecidos de que este número de cálculos es relativamente pequeño. Esto equivale a sólo 2 docena de operaciones, sabes?

Mantenernos publicado en su resultado. Esto se conoce como la "Paradoja de Cumpleaños." Y (gracias Chris Taylor para darme el número exacto) el 'número mágico' es de 23, lo que significa que con más de 23 personas esto se convierte en (sin arruinar la pregunta) sorprendentemente probable.

Answer 5

Eso es casi el derecho de probabilidad-no debe ser de 25 factores, por lo que no necesitan de la $340/365$ al final. El último factor es $341/365$. Es verdad que va a ser un poco de trabajo para calcular exactamente. Y lo realmente interesante es que el valor numérico -- es menos de la mitad? Menos de un diez por ciento? Hay un montón de métodos aproximados para averiguar las respuestas a problemas como este, y voy a esbozar aquí.

Usted puede volver a escribir la probabilidad de que usted está buscando en términos de factoriales como

$$ P = {365! \over 340! 365^{25}} $$

y esto es muy útil porque no es muy útil aproximación para $n!$, llama a Stirling fórmula:

$$ n! \approx \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n $$

Ahora, si usted se conecte $340$ o $365$ a a Stirling fórmula que podría obtener dos números muy grandes, que una calculadora estándar no puede controlar; pero sabemos $P$ debe ser de un tamaño razonable. El truco aquí es tomar logaritmos. Stirling fórmula puede escribirse como

$$ \log n! \approx {1 \over 2} \log {2 \pi} + \left( n + {1 \over 2} \right) \log n - n $$

y el logaritmo de la probabilidad es original

$$ \log P = \log 365! - \log 340! - 25 \log 365. $$

A partir de la fórmula de Stirling $\log 365! \approx 1792.331$$\log 340! \approx 1645.675$; esto da

$$ \log P = 1792.331 - 1645.675 - 147.497 = -0.841 $$

y por lo $P \approx e^{-0.841} = 0.432$.

(Podría preocuparse si hay un error en la aproximación de Stirling. Resulta que no es, y que el valor estimado de $\log n!$ siempre va a ser inferior a su verdadero valor por sobre $1/(12n)$. Por ejemplo, $\log 8! = 10.6046$ pero Stirling da ${1 \over 2} \log (2\pi) + 8.5 \log 8 - 8 = 10.5942$; estos se diferencian por $0.0104$ o acerca de $1/96$. Pero los errores en el uso de Stirling para aproximar $\log 365!$ $\log 340!$ son muy pequeñas y en la misma dirección; ellos casi se cancela.)