Actualmente estoy trabajando a través de los apuntes de clase. Al final tuvimos una breve introducción a los Modelos de la Teoría de conjuntos, pero ya era bastante para el final, en realidad no entrar en detalles.
Así que mis preguntas:
¿Cuáles son los Modelos en la Teoría de conjuntos?
Cuando y donde voy a necesitar?
Y, lo que 'son' Modelos en la Teoría de conjuntos?
Mejor, Luca
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Uno de los más importantes de la zona moderna de la teoría de conjuntos es el estudio de las extensiones de ZFC, la independencia y la consistencia de los resultados, y los grandes cardenales. Modelos en varias sentido son cruciales para el estudio de estos resultados.
Primero en la dirección de lo que son los modelos en la teoría de conjuntos. Estas son estructuras (en el modelo de la teoría de sentido) a través de una primera orden del lenguaje, que incluye algunos binario relación símbolo $E$. El lenguaje puede incluir otros símbolos (que son útiles, por ejemplo, en la formulación de indescribability). A veces estas estructuras pueden ser conjuntos, por ejemplo $H(\kappa)$, $V_\kappa$, o $L_\kappa$. A veces, adecuada a las clases con una definibles $E$ relación también puede ser llamado de estructuras o modelos. Entre estos se encuentran la $V$, $WF = \bigcup_{\alpha \in Ord} V_\alpha$, $L$, y varias interior de los modelos. Hay dificultades técnicas con estas estructuras. Por ejemplo, la satisfacción de la relación no es definible de manera uniforme en todas las fórmulas. Sin embargo, a menudo se utilizan en la consistencia de los resultados por parte de relativización. (Ver Kunen de la lógica de aspecto de la clase adecuada de los modelos.)
Los modelos son importantes en la consistencia de los resultados. Por ejemplo, el interior del modelo de $L$ establece la coherencia de $GCH$, $AC$, $V= L$, $\Diamond$, etc. En obligar, contables modelos transitivos de ZFC (o finita, fragmentos de ZFC) se extendió a otras contables modelos transitivos $M[G]$ la satisfacción de varias otras declaraciones. Por ejemplo, la consistencia de $\neg CH$ es demostrado por forzar. (Referencia de nuevo a Kunen sobre el aspecto técnico de si contables modelos transitivos de ZFC que existe y lo que la extensión genérica $M[G]$ es.)
Los modelos también son muy importantes en el estudio de la gran cardenal axiomas. Por ejemplo, si $\kappa$ es un cardinal inaccesible, a continuación, $V_\kappa$ es un modelo de $ZFC$. (Por el Teorema de la incompletitud, $ZFC$ no puede demostrar el gran cardenal axiomas.) Muchos de los otros grandes señores cardenales se definen utilizando diferentes nociones elementales de la incrustación de entre los modelos y los puntos críticos. Por ejemplo, un medibles cardenal es el punto crítico de no trivial de primaria de la incrustación de $V$ en transitivo interior del modelo.
Interior del Modelo de la Teoría de que es un área importante de la teoría de conjuntos que produjo varios consistencia de los resultados mediante el interior de los modelos. A menudo se utilizan para relacionar la consistencia de la fuerza de varias declaraciones a los grandes cardenales. Ejemplos notables son la coherencia de las diversas formas de la determinación de Woodin cardenales. En particular, el axioma de determinación es equiconsistent con infinidad de Woodin cardenales.
