¿Cuándo es buena una acción?

Question

Deje $A, B$ ser conmutativa (unital) anillos y $f\colon A \to B$ $A$- álgebra. Entonces allí existe un canónica functor $f_*\colon \mathbf{Mod}_B \to \mathbf{Mod}_A$ tal que, para cada morfismos de $B$-módulo de $g\colon N \to N'$, se asocia a los morfismos de $A$-módulos de $f_*(g)\colon f_*(N) \to f_*(N')$, donde, si $\rho_N\colon B\times N\to N$ (resp. $\rho_{N'}\colon B\times N' \to N'$) es la acción de $B$ $N$ (resp. en $N'$), $f_*(N)$ (resp. $f_*(N')$) tiene el inducido $A$-estructura del módulo

$\rho_N\circ(f, \text{id}_N)\colon A\times N \to B\times N \to N\quad \text{(resp. }\rho_{N'}\circ(f, \text{id}_{N'})\text{)}$

y $f_*(g)$ es el mismo de morfismos de abelian grupo canónicamente $A$-lineal con estos inducida por la estructura de $A$-módulos en $f_*(N)$$f_*(N')$.

El functor $f_*$ es fiel y tiene tanto de izquierda como de derecha adjoints, resp. $f^*$ $f^!$ , de tal manera que, para cada morfismos $h\colon M\to M'$ $A$- módulos,

$f^*(g)= \text{id}_B \otimes h\colon B\otimes_A M \to B\otimes_A M'$

(el cambio de base) y

$f^! = h\circ -\colon \text{Hom}_A(B, M) \to \text{Hom}_A(B, M'): u\mapsto h\circ u.$

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Pregunta. Cuando se $f_*$ también como functor, es decir, para cada $B$-módulos de $N, N'$, cuando se $f_*\bigl(\text{Hom}_B(N, N')\bigr) \cong \text{Hom}_A\bigl(f_*(N), f_*(N')\bigr)$ $A$- módulos?

Equivalentemente, podemos hacer que cuando el counit

$(\epsilon_f)_N\colon f^*(f_*(N)) = B\otimes_A f_*(N) \to N: b\otimes n \mapsto bn$

de la contigüidad $(f^*\dashv f_*)$ es un isomorfismo de $B$-módulos para cada $B$-módulo de $N$.

Observación. Para cada subconjunto multiplicativo $S$$A$, para el canónica $A$-álgebra $i^S_A\colon A \to S^{-1}A$, pero no puedo decir mucho más que esto.

Cualquier referencia es bienvenida.

Answer 1

Un hecho fundamental acerca de la categoría de teoría afirma que una de morfismos $f \colon A \to B$ es un epimorphism en una categoría $\mathcal C$ si y sólo si el pushout con sí mismo (es decir, la cobase cambio de $f$ a lo largo de sí mismo) existe y $\require{AMScd}$ \begin{CD} A @>f>> B\\ @V f V V @VV \text{id}_B V\\ B @>>\text{id}_B> B \end{CD} es un cocartesian plaza.

En el caso en que $\mathcal C = \mathbf{CRing}$, el pushout cuadrado de un morfismos $f$ a lo largo de sí mismo está dado por \begin{CD} A @>f>> B\\ @V f V V @VV p_2 V\\ B @>>p_1> B\otimes_A B \end{CD} donde $p_1$ envía $b\mapsto b\otimes 1_B$ $p_2$ mapas de $b \mapsto 1_B \otimes b$. Si $g, g'\colon B \to C$ son dos morfismos tal que $gf = g'f$, el universal de morfismos $B\otimes_A B \to C$ mapas de $b\otimes b'$$g(b)g'(b')$.

Por lo tanto, $f$ es un epimorphism en $\mathbf{CRing}$ si y sólo si la canónica de morfismos $\phi\colon B\otimes_A B \to B$ envío de $b\otimes b' \mapsto bb'$ es un isomorfismo.

El functor $N\otimes_B -$ preserva y refleja isomorphisms, por lo que tenemos que $N\otimes_B \phi$ $N\otimes_B (B\otimes_A B)$ $N\otimes_B B$es un isomorfismo si y sólo si $\phi$ es.

Pero, por la asociatividad del producto tensor en $\mathbf{CRing}$, $N\otimes_B (B\otimes_A B)$ es canónicamente isomorfo a $(N\otimes_B B)\otimes_A B$ (de la asignación siendo la más obvia).

Además, existe un isomorfismo canónico $N\otimes_B B \to N$$n\otimes b\mapsto bn$.

Finalmente, podemos concluir que los morfismos $N\otimes_B \phi$ es isomorfo a la counit $(\epsilon_f)_N$ y, por tanto, el último es un isomorfismo si y sólo si el anterior es así, y esto ocurre si y sólo si $\phi$ es un epimorphism.