En la extensión de la distribución

Question

Definir una distribución en $(0,+\infty)$ por $$u(\varphi):=\sum_{k=1}^{\infty} {1 \over {k!}}\partial^k \varphi(1/k)$$ ¿cómo puedo mostrar no puede ser extendido a cualquier distribución definida globalmente en $\mathbb{R}$?

Answer 1

Para $v\in \mathscr D'(\mathbb R)$ hay $n\in\mathbb N$ $c>0$ tal que $|v(\varphi)|\le c\sup\lbrace|\varphi^{(k)}(x)|: x\in [0,1], k\le n \rbrace$ para todas las funciones de prueba de $\varphi$ con apoyo en $[0,1]$. Construir $\varphi_n$ con apoyo en un pequeño intervalo de alrededor de $1/n+1$ tal que $\varphi^{(k)}(1/n+1)=0$ $k\neq n+1$ $=2c(n+1)!$ $k=n$ multiplicando $(x-1/n+1)^{n+1}$ , con un número constante de veces de corte de la función. Esto le mostrará que $u$ no es la restricción de $v$.