asociada a la medida de haar de doble grupo de un producto

Question

Deje $G_1$ $G_2$ ser localmente compacto abelian grupos equipado con medida de Haar $\mu_{G_1}$, $\mu_{G_2}$ y $G=G_1 \times G_2$ equipada con $\mu_{G_1} \otimes \mu_{G_2}$.

Me gustaría mostrar que la asociada a la medida de Haar en $\hat{G}=\hat{G_1} \times \hat{G_2}$ es el producto de $\mu_{\hat{G_1}} \otimes \mu_{\hat{G_2}}$de los asociados Haar medidas.

Deje $f_1\colon G_1\to\mathbb{C}$ $f_2\colon G_2 \to \mathbb{C}$ ser funciones continuas con soporte compacto y $f\colon G \to \mathbb{C}$ definido por $(x_1,x_2)\mapsto f_1(x_1)f_2(x_2)$. He demostrado que $$ \int_{\widehat{G}}|\mathcal{F}f(\chi_1,\chi_2)|^2d\mu_{\widehat{G}}(\chi_1,\chi_2)=\int_{\widehat{G_1} \times \widehat{G_2}} |\mathcal{F}f(\chi_1,\chi_2)|^2 \ d(\mu_{\widehat{G_1}}\otimes \mu_{\widehat{G_2}})(\chi_1,\chi_2). $$

Cómo completar la prueba?

Answer 1

Esencialmente lo que falta para mi era que si una función continua $f$ con soporte compacto no es idénticamente cero, entonces su transformada de Fourier no es despreciable.