Delimitada operador y densos conjuntos

Question

Deje $A : E \rightarrow E$ ser un operador lineal, y $E$ a (normalmente de dimensiones infinitas) espacio de Banach. Supongamos que $S$ es una colección de norma 1 elementos de $E$ abarca un subespacio denso de $E$.

1. Qué $||Ax|| \leq C ||x||$ todos los $x \in S$ implica que $A$ es limitada ?

2.(EDITADO) No $||x|| \leq c ||Ax||$ todos los $x \in S$ $A$ delimitada, inyectiva implica que $A$ está delimitado por debajo ?

Claramente esto sería cierto si $S$ eran densas sí, pero ya que sólo abarca un subespacio denso que no estoy tan seguro.

Motivo de la edición : Sin esas hipótesis, la respuesta es claramente no para el punto 2 : como en la respuesta de David, tomar una base de Hamel $e_n$ y deje $Ae_n=e_n$ y deje $Ax=0$ cualquier $x \notin span(e_n)$.

Answer 1

La respuesta es "no" a la primera pregunta:

En $\ell_2$, ampliar la unidad de vectores, $(e_i)_{i=1}^\infty$, a una base de Hamel $(f_\alpha)_{\alpha\in I}$$\ell_2$. Para $i\in\Bbb N$, definir $Ae_i=e_i$. Definir $A$ en el resto de los elementos de $(f_\alpha)_{\alpha\in I}$, por lo que es ilimitado (por ejemplo, $(h_i)_{i=1}^\infty$ una secuencia de $(f_\alpha)_{\alpha\in I}$ disjunta de a $(e_i)_{i=1}^\infty$ y un mapa de la $h_i$$i\cdot h_i $). Nota: $I$ debe ser innumerables; por lo tanto, este puede ser hecho.

La respuesta a la segunda pregunta es "no", así, como Daniel Fischer comentario en el post original de la muestra.