Implicación de una relación de desigualdad

Question

Supongamos que tengo una función lineal $f$ en $\mathbb{R}^n$ y otra función $p$ que es homogénea positiva, es decir $p(\lambda x)=\lambda p(x)$ para todos $\lambda\ge 0$ . Tenemos la siguiente implicación

$$f(x)>-1\Rightarrow p(x)>-1$$

Como podemos multiplicar por escalares positivos, obtenemos

$$f(x)>-y\Rightarrow p(x)>-y$$

por cada $y\ge 0$ . Pensé que esto debería implicar que $p(x)\ge f(x)$ pero la nota de mi conferencia dice lo contrario: $p(x)\le f(x)$ . ¡El problema es que con esto último todo el resto de la prueba ya no funciona! Entonces, ¿dónde está mi error de razonamiento?

Answer 1

"Ya que podemos multiplicar por escalares positivos": ¿qué significa?

Es algo así como: para $x = y$ con $>0$ y y en $^n$ :

$f(x)>1 p(x)>1$

$f(y)>1 p(y)>1$

$f(y)>1 p(y)>1$

$f(y)>1/ p(y)>1/$

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