Subgrupos de $S_6$

Question

¿Cuáles son todos los subgrupos de $S_6$ hasta el isomorfismo? He podido encontrar algunas listas pero ninguna de las cuales esté seguro de que esté completa.

Answer 1

La siguiente línea solicita que GAP calcule todas las clases de conjugación de subgrupos de $S_6$, tome un representante de cada una, tome su clase de isomorfismo (ignorando duplicados), construya un ejemplo platónico de dicho grupo y luego describa su estructura.

gap> List( List( Set( List( ConjugacyClassesSubgroups(SymmetricGroup(6)),
> Representative), IdGroup), SmallGroup), StructureDescription);
\[ "1", "C2", "C3", "C4", "C2 x C2", "C5", "S3", "C6", "C4 x C2", "D8", 
  "C2 x C2 x C2", "C3 x C3", "D10", "A4", "D12", "C2 x D8", "C3 x S3", 
  "(C3 x C3) : C2", "C5 : C4", "S4", "C2 x A4", "(C3 x C3) : C4", 
  "S3 x S3", "C2 x S4", "A5", "(S3 x S3) : C2", "S5", "A6", "S6" \]

Los grupos con ":" en sus descripciones no están definidos de manera única por sus descripciones entre todos los grupos finitos, pero sí entre los subgrupos de $S_6$.

"(C3 x C3) : C2" describe el producto entrecruzado $C_3 \wr S_2$, "C5 : C4" describe el grupo de Frobenius de orden 20 (el normalizador de un subgrupo de Sylow de orden 5), "(C3 x C3) : C4" describe $\langle (1,2,3),(3,6)(1,4,2,5) \rangle$, y "(S3 x S3) : C2" describe el producto entrecruzado $S_3 \wr S_2$.

C$n$ es el grupo cíclico de orden $n$, D$n$ es el grupo diedral de orden $n$, S$n$ es el grupo simétrico en $n$ puntos, A$n$ es el grupo alternante en $n$ puntos.

Answer 2

El Subwiki de GroupProps es un buen recurso de información sobre grupos pequeños (hasta isomorfismo) y sus subgrupos.

Enfocándonos un nivel más profundo aprendemos que $S_6$ es único entre los grupos simétricos al tener un número diferente de clases de conjugación (56) que de clases de automorfismos (37) de subgrupos. Es decir, hay subgrupos de $S_6$ que son isomorfos bajo un automorfismo externo de $S_6$ pero no bajo un automorfismo interno (conjugación).

Desafortunadamente la página Wiki mencionada anteriormente tiene una "Tabla clasificando subgrupos hasta conjugación" muy incompleta, listando solo 4 de las 56 clases de conjugación. Por supuesto, la equivalencia hasta isomorfismo es aún más gruesa que la equivalencia hasta automorfismo (del grupo completo $S_6$). Un artículo en arxiv.org lista 29 de esos subgrupos hasta isomorfismo (en un contexto aplicado):

$$ D_6, D_3, D_2, Z_6, Z_3, Z_2, D_3\times D_3, Z_3×Z_3, (Z_3\times Z_3)⋊ Z_2, D_3 \times Z_3, Z_2 \times Z_2 \times Z_2, S_3 ≀ Z_2, Z_4, Z_5, D_4, Z_2 \times Z_4, D_4, D_5, A_4, D_4 \times Z_2, Z_5 ⋊ Z_4, A_4 \times Z_2, S_4, (Z_3 \times Z_3) ⋊ Z_4, S_4 \times Z_2, A_5, S_5, A_6, S_6 $$

y hace referencia a un PDF que lista por orden/índice las 56 clases de conjugación de los subgrupos de $S_6$ de esta página web. Hay un error en esta lista, ya que $D_4$ aparece dos veces y falta el grupo trivial $Z_1.

Para comparar con la respuesta de Jack Schmidt, los $Z_n$ aquí son los grupos cíclicos denotados $C_n$ por GAP. Como señala Derek Holt, la notación aquí para el grupo diedral de orden $2n$ es $D_n$, mientras que GAP usa $D_{2n}$. Hay una redundancia en que $D_3 \cong S_3$, sin embargo, aquí se usan ambos.