Una teoría de primer orden *finita* cuyos modelos finitos son exactamente los $\Bbb F_p$ ?

Question

Desde este La pregunta resultó ser trivial, ahora hago esta versión reforzada:

¿Existe una axiomatizado finamente teoría de primer orden $T$ en el lenguaje de los anillos tal que sus modelos finitos son exactamente los campos $\Bbb F_p$ con $p$ primo (pero no $\Bbb F_q$ con $q$ una potencia propia es un modelo de $T$ )?

Answer 1

EDITAR: Esta respuesta es sólo una prueba de un caso especial de la pregunta dada (el caso en que los modelos infinitos de la teoría dada son exactamente los campos infinitos). No es no resolver la cuestión general.

Teorema. Dejemos que $\mathcal{M}$ sea la clase de todos los campos $F$ tal que, o bien $F$ es infinito o $F$ es isomorfo a $\Bbb{F}_p$ para algún primo $p$ . Entonces $\mathcal{M}$ no tiene una axiomatización FOL finita.

Prueba. Para cualquier primo $p$ y cualquier número entero $n \geq p$ , dejemos que $\sigma_{p,n}$ sea la traducción del siguiente enunciado de de la teoría de los anillos a una frase de FOL:

Si $R$ tiene cardinalidad $n$ y $p \cdot 1_R = 0_R$ entonces para cada elemento del anillo x, x es $0_R$ , $1_R$ , $2 \cdot 1_R$ , $\ldots$ o $(p-1) \cdot 1_R$ .

Dejemos que $\Sigma$ sea la unión de los axiomas del campo de primer orden y el conjunto de todas las frases de FOL $\sigma_{p,n}$ para algún número primo $p$ y para algún número entero $n \geq p$ . Entonces la clase de todos los modelos de $\Sigma$ es claramente $\mathcal{M}$ .

Supongamos ahora que la clase $\mathcal{M}$ tiene una axiomatización FOL finita $\{ \rho_1, \ldots, \rho_m \}$ . Sea $\rho$ sea la conjunción de las frases $\rho_i$ para $i = 1, \ldots, m$ . Entonces, como $\Sigma$ es también una axiomatización de $\mathcal{M}$ , $\rho$ se desprende lógicamente de $\Sigma$ . Así, $\rho$ se deduce lógicamente de un subconjunto finito $\Sigma_0$ de $\Sigma$ por el teorema de compacidad de la lógica de primer orden lógica de primer orden. Entonces $\Sigma_0$ es una axiomatización finita de la clase $\mathcal{M}$ .

Desde $\Sigma_0$ es finito y hay infinitos primos, podemos elegir un primo $\hat{p}$ y un número entero $\hat{n} \geq \hat{p}$ tal que para cada primo $p \geq \hat{p}$ y para cada $n \geq \hat{n}$ , $\sigma_{p,n}$ no es un elemento de $\Sigma_0$ . Entonces, claramente, cada campo $\Bbb{F}_{p^n}$ para $p \geq \hat{p}$ y $n \geq \hat{n}$ es un modelo de $\Sigma_0$ y por lo tanto debe ser un elemento de $\mathcal{M}$ . Pero esto contradice nuestra suposición inicial para $\mathcal{M}$ . Por lo tanto, $\mathcal{M}$ no tiene una FOL-axiomatización.

Q.E.D.