Cuando es un mapa de poder de un homomorphism?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito y definir el mapa de poder $p_m:G\to G$ cualquier $m\in\mathbb Z$$p_m(x)=x^m$. Cuando es este mapa de un grupo de homomorphism?

El $p_m$ es claramente un homomorphism siempre $G$ es abelian. También, si $N$ es el mínimo común múltiplo de los pedidos de elementos de $G$, $p_{m+N}=p_m$ todos los $m$, por lo que la respuesta depende solo de $m$ modulo $N$. (Tenga en cuenta que $N$ divide $|G|$, pero no tiene que ser igual a él.) También, $p_0$ $p_1$ siempre homomorphisms y $p_{-1}$ si y sólo si $G$ es abelian.

También hay menos ejemplos triviales. Si $G=C_4\times S_3$ (donde $C_n$ denota el grupo cíclico de orden $n$), $p_6$ es un trivial homomorphism (ni constante ni la identidad). Su imagen es $C_2\times0<C_4\times S_3$. Más generalmente, si $G_1$ es cualquier nonabelian grupo y $n$ coprime a$m=|G_1|$, $p_m$ es un trivial homomorphism para $G=C_n\times G_1$.

Una refinada versión de la pregunta: Puede que de alguna manera nos describir o clasificar a los grupos de $G$ y números de $m$ que $p_m$ es un homomorphism? Por ejemplo, es la imagen de $p_m(G)$ necesariamente un abelian subgrupo como en todos mis ejemplos? Si un grupo admite un trivial $m$ (es decir, $m\not\equiv0,1\pmod N$) para que $p_m$ es un homomorphism, el grupo es necesariamente un producto de un grupo abelian y otro grupo?

Answer 1

Una respuesta parcial;

Si $p_m$ es un homomorphism entonces es fácil ver que $p_m(G)$ es un charactersitic subgrupo de $G$ $\sigma\in Aut(G)$, $\sigma(x^n)=\sigma(x)^n$.

Deje $K=p_m(G)$ y asumir que $(m,\dfrac{|G|}{m})=1$$|K|,(\dfrac{|G|}{|K|})=1$. Por Schur-zasenaus teorema $G=HK$ para complementar $H$$K$.

Además de que,

Por la transferencia de la teoría, si $|G:Z(G)|=n$ $p_n:G\to G$ $x\mapsto x^n$ es un homomorphim que tiene no trivial de la prueba.